Космические скорости

Чтобы внести ясность в то, какие необходимы условия для того, чтобы тело стало искусственным спутником Земли, предложен рисунок $1$. Это копия ньютоновского чертежа. Изображение земного шара дополнено высокой горой, с вершины которой производят бросание камней, придавая им различные по модулю и горизонтально направленные скорости. Действие силы тяжести способствует отклонению движущихся камней от прямолинейного пути. После описания кривой траектории он падает на Землю.

Рисунок $1$

Если прилагать больше сил при бросании, то он упадет дальше. Отсюда следует, что при отсутствии сопротивления воздуха и при наличии большой скорости тело может даже не приземляться на поверхность. Это говорит о его дальнейшем описывании круговых траекторий, не изменяя высоты относительно земной поверхности.

Первая космическая скорость

Чтобы движение вокруг Земли проходило по круговой орбите с радиусом, схожим с земным $R_{з}$, тело должно обладать определенной скоростью ${\upsilon }_1$, которую можно определить из условия равенства произведения массы тела на ускорение силы тяжести, действующей на тело.

Вторая космическая скорость

Для ее нахождения следует произвести вычисление работы, потраченную против сил земного притяжения для соударения с поверхности Земли на бесконечность. При удалении такого тела получаем:

$$\begin{gathered} \frac{m{\upsilon }_2^2}{2}-G\frac{mM}{R}=0, \\ R=h+r \end{gathered}$$

где $m$ – масса брошенного тела, $М$ – масса планеты, $r$ – радиус планеты, $h$ – длина от основания до его центра масс, $G$ – гравитационная постоянная, ${\upsilon }_2$ - вторая космическая скорость.

Решив уравнение относительно ${\upsilon }_2$, получим:

${\upsilon }_2=\sqrt{2G\frac{M}{R}}$.

Существует связь между первой и второй скоростями

${\upsilon }_2=\sqrt{2}{\upsilon }_1$.

Квадрат скорости убегания равняется ньютоновскому потенциалу в заданной точке, то есть:

${\upsilon }_2^2=-2\Phi =2\frac{GM}{R}$.

Скорость ${\upsilon }_2$ считается за вторую космическую. Из сравнений видно, что она в $\sqrt{2}$ раза больше первой. Если умножить $8 км/с$ на $\sqrt{2}$, то получим значение для ${\upsilon }_2$, приблизительно равняющееся $11 км/с$.

Чтобы тело смогло стартовать с поверхности планеты, оно должно обладать второй космической скоростью при малом значении $h$ и большом значении гравитационной силы. Как только ракета начнет удаляться от Земли, гравитационная постоянная будет уменьшаться  вместе со значением, необходимым для убегания кинетической энергии.

Третья космическая скорость

Значение ${\upsilon }_3$ зависит от направления. Если запуск производится в направлении орбитального движения Земли, тогда ее значение минимально и составит около $17 км/с$. Когда тело запущено противоположно направлению движения Земли, тогда значение скорости ${\upsilon }_3\approx 73$.