Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Чтобы расчеты сложных электрических цепей с неоднородными участками не вызывали трудности, существует упрощение с помощью применения правил Кирхгофа, которые рассматривают как обобщение закона Ома на случай разветвленных цепей.

В таких цепях выделяют узловые точки, называемые узлами, где сходятся не менее трех проводников, как изображено на рисунке $1.10.1.$ Токи, поступающие в узел, считают положительными, а вытекающие – отрицательными.

Рисунок $1.10.1.$ Узел электрической цепи. $I_1, I_2>0; I_3, I_4<0$.

Правила Кирхгофа. Примеры

Данное правило принято считать следствием закона сохранения электрического заряда.

На участках с выделенным контуром могут протекать различные токи. Рисунок $1.10.2$ наглядно показывает пример такой цепи, соответствующей $1$ закону Кирхгофа. Она состоит из двух узлов $a$ и $d$, в которых сходятся одинаковые токи. Только один из заданных узлов будет независимым.

Рисунок $1.10.2.$ Пример разветвленной электрической цепи. Цепь содержит один независимый узел ($a$ или $d$) и два независимых контура (например, $abcd$ и $adef$).

В предложенной цепи выделяют три контура вида $abcd$, $adef$ и $abcdef$. Независимыми считаются только два: $abcd$ и $adef$. Последний из вышеперечисленных не имеет никаких новых участков.

Второе правило Кирхгофа – это следствие обобщенного закона Ома.

Для записи обобщенного закона Ома участков, составляющих один из контуров цепи, используется пример, изображенный на рисунке $1.10.2$ для $abcd$. Каждому участку задаются положительные направления тока и обхода контура. Для записи следует учитывать «правила знаков», приведенные на рисунке $1.10.3.$

Рисунок $1.10.3.$ «Правила знаков».

Запись обобщенного закона Ома для участков контура $abcd$ принимает вид:

Для $bc$: $I_1{R}_1=∆{\phi }_{bc}-{\delta }_1$.

Для $da$: $I_2{R}_2=∆{\phi }_{da}-{\delta }_2$.

Сумма левых и правых частей равенств с условием $∆{\phi }_{bc}=-∆{\phi }_{da}$ преобразует выражение:

$I_1{R}_1+I_2{R}_2=∆{\phi }_{bc}+∆{\phi }_{da}-{\delta }_1+{\delta }_2=-{\delta }_1-{\delta }_2$.

Таким же образом можно записать для $adef$ контура:

$-I_2{R}_2+I_3{R}_3={\delta }_2+{\delta }_3$.

Модель постоянного тока

Оба правила Кирхгофа для всех узлов и контуров разветвленной цепи дают необходимое и достаточное число алгебраических уравнений для расчета значений напряжений и сил токов электрической цепи. Цепь, изображенная на рисунке $1.10.2$, рассматривается как система уравнений для определения трех неизвестных $I_1, I_2$ и $I_3$:

$I_1{R}_1+I_2{R}_2=-{\delta }_1-{\delta }_2$,

$-I_2{R}_2+I_3{R}_3={\delta }_2+{\delta }_3$,

$-I_1+I_2+I_3=0$.

То есть применение этих правил помогает свести расчет электрической цепи постоянного тока к решению системы. Процесс не вызывает трудностей, но зачастую приходится работать с громоздкими выражениями простых цепей. При получении отрицательного значения силы тока на участке цепи говорят о противоположном направлении тока, относительно выбранного.

Рисунок $1.10.4.$ Модель цепи постоянного тока.

Рисунок $1.10.5.$ Модель конденсаторов в цепях постоянного тока.