Сила и плотность тока. Линии тока

12 июня 2023
9 минут
2 157

Преподаватель физики

Сила тока $I$ для тока, протекающего через некоторую площадь сечения проводника $S$ эквивалентна производной заряда q по времени $t$ и количественно характеризует электрический ток.

Определение 1

Таким образом выходит, что сила тока — это поток заряженных частиц через некоторую поверхность $S$ .

Определение 2

Электрический ток является процессом движения как отрицательных, так и положительных зарядов.

Перенос заряда одного знака в определенную сторону равен переносу заряда, обладающего противоположным знаком, в обратном направлении. В ситуации, когда ток образуется зарядами и положительного, и отрицательного знаков ( $d q +$ и $d q -$ ), справедливым будет заключение о том, что сила тока равна следующему выражению:

$I = \frac{d q^{+}}{d t} + \frac{d q^{-}}{d t}$ .

В качестве положительного определяют направление движения положительных зарядов. Ток может быть постоянным, когда ни сила тока, ни его направление не претерпевают изменений с течением времени, или, наоборот, переменным. При условии постоянства, формула силы тока может выражаться в следующем виде:

$I = \frac{q}{∆ t}$ ,

где сила тока определена в качестве заряда, который пересекает некоторую поверхность $S$ в единицу времени. В системе $С И$ роль основной единицы измерения силы тока играет Ампер $(А)$ .

$1 A = \frac{1 К л}{1 с}$ .

Плотность тока. Связь плотности тока с зарядом и силой тока, напряженностью

Выделим в проводнике, в котором протекает ток, малый объем $d V$ случайной формы. С помощью следующего обозначения $<υ>$ определим среднюю скорость движения носителей зарядов в проводнике. Пускай $n_{0}$ представляет собой концентрацию носителей заряда. На поверхности проводника выберем пренебрежительно малую площадку $d S$ , которая расположена ортогонально скорости $<υ>$ (рис. $1$ ).

Плотность тока. Связь плотности тока с зарядом и силой тока, напряженностью

Рисунок $1$

Проиллюстрируем на поверхности площадки $d S$ очень короткий прямой цилиндр, имеющий высоту $<υ>$ $d t$ . Весь массив частиц, которые располагались внутри такого цилиндра за время $d t$ пересекут плоскость $d S$ и перенесут через нее, в направлении скорости $<υ>$ , заряд, выражающийся в виде следующего выражения:

$d q = n_{0} q_{e} <υ> d S d t$ ,

где $q_{e} = 1, 6 \cdot 10^{- 19} К л$ является зарядом электрона, другими словами отдельной частицы или же носителя тока. Разделим приведенную формулу на $d S d t$ и получим:

$j = \frac{d q}{d S d t}$ ,

где $j$ представляет собой модуль плотности электрического тока.

$j = n_{0} q_{e} <υ>$ ,

где $j$ является модулем плотности электрического тока в проводнике, в котором заряд переносится электронами. В случае, если ток появляется как результат движения нескольких типов зарядов, то формула плотности тока может быть определена в виде следующего выражения:

$j = \underset{i}{\sum n_{i} q_{i} <υ_{i}>}$ ,

где $i$ представляет собой носитель заряда. Плотность тока — это векторная величина. Снова обратим внимание на рисунок $1$ . Пускай $\vec{n}$ представляет собой единичный перпендикуляр к плоскости $d S$ . В случае, если частицы, переносящие заряд, являются положительными, то переносимый ими заряд в направлении нормали больше нуля. В общем случае переносимый в единицу времени элементарный заряд может быть записана в следующем виде:

$\frac{d q}{d t} = (\vec{j} \vec{n}) d S = j_{n} d S$ .

Формула приведенная выше справедлива также в том случае, когда плоскость площадки $d S$ неортогональная по отношению к вектору плотности тока. По той причине, что составляющая вектора $\vec{j}$ , направленная под прямым углом к нормали, через сечение $d S$ электричества не переносит. Исходя из всего вышесказанного, плотность тока в проводнике окончательно запишем, применяя формулу $j = n_{0} q_{e} <υ>$ в таком виде:

$\vec{j} = - n_{0} q_{e} <\vec{υ}>$ .

Таким образом, плотность тока эквивалентна количеству электричества, другими словами заряду, который протекает за одну секунду через единицу сечения проводника. В отношении однородного цилиндрического проводника справедливым будет записать, что:

$j = \frac{I}{S ∆ t}$ ,

где $S$ играет роль площади сечения проводника. Плотность постоянного тока равна по всей площади сечения проводника. Для двух разных сечений проводника $(S_{1}, S_{2})$ с постоянным током справедливо следующее равенство:

$\frac{j_{1}}{j_{2}} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$ .

Основываясь на законе Ома для плотности токов можно записать такое выражение:

$\vec{j} = λ \vec{E}$ ,

где $λ$ обозначает коэффициент удельной электропроводности. Определив плотность тока, мы имеем возможность выразить силу тока в следующем виде:

$I = \int_{S} j_{n} d S$ ,

где интегрирование происходит по всей поверхности $S$ любого сечения проводника. Единица плотности тока $\frac{A}{м^{2}}$ .

Линии тока

Определение 3

Линии, вдоль которых движутся заряженные частицы, носят название линий тока.

Направления движения положительных зарядов также определяются в качестве направлений линий тока. Изобразив линии тока, можно получить наглядное представление о движении электронов и ионов, которые формируют собой ток. Если внутри проводника выделить трубку с током, у которой боковая поверхность состоит из линий тока, то движущиеся заряженные частицы не будут пересекать боковую поверхность данной трубки. Такую трубка представляет собой так называемую трубку тока. К примеру, поверхность металлической проволоки в изоляторе будет определяться как труба тока.

Пример 1

Сила тока в проводнике равномерно возрастает от $0$ до $5 А$ на протяжении $20 с$ . Определите заряд, который прошел через поперечное сечение проводника за данный отрезок времени.

Решение

В качестве основы решения данной задачи возьмем формулу, которая характеризует собой силу тока, то есть:

$I = \frac{d q}{d t}$ .

Таким образом, заряд будет найден как:

$q = \int_{t_{1}}^{t_{2}} I d t$ .

В условии задачи сказано, что сила тока изменяется равномерно, а это означает то, что мы можем записать закон изменения силы тока в следующем виде:

$I = k t$ .

Найдем коэффициент пропорциональности в приведенном выражении, для чего необходимо запишем закон изменения силы тока еще раз для момента времени, при котором сила тока эквивалентна $I_{2} = 3_{А} (t_{2})$ :

$I_{2} = k t_{2} \to k = \frac{I_{2}}{t_{2}}$ .

Подставим выражение выше в $I = k t$ и проинтегрируем в соответствии с $q = \int_{t_{1}}^{t_{2}} I d t$ , получим формулу такого вида: $q = \int_{t_{1}}^{t_{2}} k t d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{I_{2}}{t_{2}} t d t = \frac{I_{2}}{t_{2}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} t d t = {\frac{t^{2}}{2}}_{t_{1}}^{t_{2}} = \frac{I_{2}}{2 t_{2}} (t_{2}^{2} - t_{1}^{2})$ .

В качестве начального момента времени возьмем момент, когда сила тока эквивалентна нулю, другими словами $t_{1} = 0, I_{1} = 0 A; t_{2} = 20, I_{2} = 5 А$ . Проведем следующие вычисления:

$q = \frac{I_{2}}{2 t_{2}} t_{2}^{2} = \frac{I_{2} t_{2}}{2} = \frac{5 \cdot 20}{2} = 50 (К л)$ .

Ответ: $q = 50 К л$ .

Пример 2

Определите среднюю скорость движения электронов в проводнике, молярная масса вещества которого эквивалентна $μ$ , поперечное сечение проводника $S$ . Сила тока в проводнике $I$ . Примем, что на каждый атом вещества в проводнике приходится два свободных электрона.

Решение

Силу тока $(I)$ в проводнике можно считать постоянной, что позволяет нам записать следующее выражение:

$I = \frac{q}{∆ t} = \frac{N q_{e}}{∆ t}$ ,

где заряд $q$ определим как произведение числа электронов проводимости в проводнике, на заряд одного электрона $q_{e}$ , представляющего собой известную величину. $∆ t$ играет роль промежутка времени, за который через поперечное сечение проводника проходит заряд $q$ . Найти $N$ можно, если применять известное в молекулярной физике соотношение:

$\frac{N'}{N_{А}} = \frac{m}{μ} = \frac{ρ V}{μ}$ ,

где $N'$ играет роль количества атомов в проводнике, объем которого $V$ , плотность $ρ$ , а молярная масса $μ$ . $N_{A}$ представляет собой число Авогадро. По условию задачи $N = 2 N'$ . Найдем из $\frac{N'}{N_{А}} = \frac{m}{μ} = \frac{ρ V}{μ}$ число свободных электронов: $N = 2 \frac{ρ V}{μ} N_{A}$ .

Подставим выражение, приведенное выше, в $I = \frac{q}{∆ t} = \frac{N q_{e}}{∆ t}$ , в результате чего получим:

$I = 2 \frac{ρ V}{μ} N_{A} \frac{q_{e}}{∆ t} = \frac{2 ρ q_{e} N_{A} S l}{μ ∆ t}$ ,

где объем проводника найден как $V = S l$ , где $l$ - длина проводника. Выразим ее.

$l = \frac{μ ∆ t I}{2 ρ q_{e} N_{A} S}$ .

Среднюю скорость движения электронов или, другими словами, скорость тока в проводнике можно определить следующим образом: $<υ> = \frac{l}{∆ t} = \frac{μ I}{2 ρ q_{e} N_{A} S}$ .

Ответ: $<υ> = \frac{μ I}{2 ρ q_{e} N_{A} S}$ .