Уравнение Майера

Уравнение Майера связывает теплоемкости идеального газа в двух изопроцессах, тогда перейдем к самому его определению.

Теплоемкость. Уравнение Майера

Значение теплоемкости единицы молярной массы тела:

$c_{\mu }=\frac{C}{v} \left(2\right)$. Выражение называется молярной теплоемкостью.

Теплоемкость не считается функцией состояния, так как является характеристикой бесконечно близких состояний системы или выражается в качестве функции бесконечно малого процесса, совершаемого в системе. В количественном выражении это означает, что из $\left(1\right)$, применяя первое начало термодинамики, дифференциальная форма получится:

$C=\frac{\delta Q}{dT}=\frac{dU+pdV}{dT} \left(3\right)$.

Уравнение Майера для идеального газа

Определение термодинамической системы производится при помощи трех параметров $\left(p, V, T\right)$. Существующее между ними отношение получило название уравнения состояния. Для идеального газа используется уравнение Менделеева-Клапейрона. Данная связь запишется в виде:

$p=p(T, V)$ или $T=T (p,V), V=V(p, T)$.

При выборе независимых переменных в качестве $V$ и $T$ внутренняя энергия системы выражается в виде функции $U=U(T, V)$. Получим, что значение полного дифференциала от внутренней энергии примет вид:

$dU={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V}dT+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}dV \left(4\right)$.

Произведем подстановку из $\left(4\right)$ в $\left(3\right)$, тогда

$c=\frac{{\left({\displaystyle \frac{\partial U}{\partial T}}\right)}_{V}dT+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}dV+pdV}{dT}={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V+\left[p+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T\right]\frac{dV}{dT} \left(5\right).$

Исходя из формулы $\left(5\right)$, теплоемкость находится в зависимости от процесса. Если он изохорный, то

$\frac{dV}{dT}=0$.

Значение теплоемкости изохорного процесса запишется как:

$C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V \left(6\right)$.

При изобарном теплоемкость выражается через формулу:

$C_p={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V+\left[p+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T\right]{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p=C_V+\left[p+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T\right]{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p \left(7\right)$.

Перейдем к рассмотрению исследуемой системе идеального газа. Запись малого приращения энергии идеального газа:

$dU=\frac{i}{2}vRdT \left(8\right)$.

Отсюда следует:

${\left(\frac{dU}{dV}\right)}_T=0 \left(9\right)$.

Состояние идеального газа описывается при помощи уравнения Менделеева-Клапейрона:

$pV=vRt \left(10\right)$.

Значит:

${\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p=\frac{vR}{p} \left(11\right)$.

Произведем подстановку в $\left(7\right)$ из $\left(10\right)$ и $\left(11\right)$:

$C_p=C_V+\left[p+0\right]\frac{vR}{p}=C_V+vR \left(12\right)$.

Выражение $\left(12\right)$ называют выведенным соотношением Майера.

Или для молярных теплоемкостей:

$C_{\mu p}=C_{\mu V}+R \left(13\right)$.