Бегущие электромагнитные волны

Содержание:

01 апреля 2023
6 минут
860

Преподаватель физики

Определение 1

Бегущие волны – это волны, которые переносят энергию в пространстве. Количественно транспортирование энергии этой волной назначает вектор плотности потока энергии, называемый вектором Умова-Пойтинга. Его направление совпадает с направлением распространения энергии. Модуль вектора равняется энергии, которую может переносить волна за время, равное $1 с$ , через площадку, располагаемую перпендикулярно к направлению ее движения с площадью, равняющуюся $1$ .

Уравнение плоской бегущей волны

Для получения уравнения бегущей волны рассматривается плоская гармоническая. Считается, что она распространяется по $О х$ . Поверхности волны перпендикулярны $О х$ , все точки волновой поверхности совершают колебания одинаково, смещение $(ξ = ξ (x, t))$ будет функцией с координатой $(x)$ и временем $(t)$ . Запись уравнение колебаний частиц, находящихся на плоскости $х$ , примет вид:

$ξ (x, t) = A \cos ω (t - \frac{x}{υ}) (1)$ .

Отсюда $ξ (x, t)$ является периодической по времени и по координате $х$ . уравнение $(1)$ называют уравнением бегущей волны. Если плоская волна задается при помощи выражения $(1)$ , то ее перемещение идет по $О х$ . При обратном ее направлении по $О х$ уравнение запишется как:

$ξ (x, t) = A \cos ω (t + \frac{x}{υ}) (2)$ .

Если волна движется по $О х$ без поглощения энергии, то это характеризуется уравнением:

$ξ (x, t) = A \cos [ω (t - \frac{x}{υ}) + φ_{0}] (3)$ .

Значение $A = c o n s t$ относят к амплитуде, $ω$ – к циклической частоте волны, $φ_{0}$ - к начальной фазе колебаний, определяемой выбором началом отсчета $x$ и $t$ , $[ω (t - \frac{x}{υ}) + φ_{0}]$ – к фазе плоской волны.

Что называют электромагнитной волной. Волновое число

Определение 2

Электромагнитные волны – это распространяющиеся в пространстве изменения состояния электромагнитного поля. Они характеризуются волновым числом $(k)$ .

Запись выражения $(1)$ примет совершенно другой вид при известном волновом числе.

Если перейти к комплексным числам, применив формулу Эйлера, уравнение плоской волны зафиксируем.

Выражение $(6)$ имеет физический смысл только в действительной части, но $R e$ возможно опустить в записи уравнения волны.

Перейдем к рассмотрению волнового процесса, где не происходит изменение фазы.

Далее найдем дифференциал от выражения $(7)$ .

При условии, что $(υ)$ волны зависит от частоты колебаний, то такая волна подвержена дисперсии.

Уравнение сферической бегущей волны

Определение 3

Сферическая волна – это волна, волновая поверхность которой является концентрической сферой. Такое уравнение примет вид:

$ξ (r, t) = \frac{A_{0}}{r} \cos (ω t - k r + φ_{0}) (11)$ ,

где $r$ является расстоянием от центра волны до точки рассмотрения. Если имеем дело со сферической волной, то ее амплитуда колебаний не будет постоянной даже при условии, что энергия не поглощается средой. Ее убывание происходит обратно пропорционально расстоянию. Выполнение уравнения $(8)$ возможно тогда, когда источник волн считается точечным.

Примечание 1

Уравнение бегущей волны в любом виде подчинено волновому уравнению.

Пример 1

Дана плоская электромагнитная волна в вакууме, которая распространяется по $О х$ . Амплитуда напряженности электрического поля равняется $E_{m}$ . Определить амплитуду напряженности магнитного поля заданной волны.

Решение

За основу необходимо принять выражение для амплитуд электромагнитной волны:

$\sqrt{ε ε_{0}} E = \sqrt{μ μ_{0}} H (1.1)$ .

Запись уравнения колебаний модуля $\vec{E}$ в электромагнитной волне при условии, что она является плоской и идет по $О х$ , фиксируем:

$E = E_{m} \cos (ω t - k x) (1.2)$ .

Для записи уравнения колебаний $\vec{H}$ в электромагнитной волне, в случае если она считается плоской и распространяется по $О х$ :

$H = H_{m} \cos (ω t - k x) (1.3)$ .

Из условия имеем, что волна производит рассеивание в вакууме, то $ε = 1, μ = 1$ . Применяя $(1.1), (1.2), (1.3)$ :

$\sqrt{ε_{0}} E_{m} = \sqrt{μ_{0}} H_{m} \to H_{m} = \sqrt{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} E_{m}$ .

Ответ: $H_{m} = \sqrt{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} E_{m}$ .

Пример 2

Распространение электромагнитной плоской волны идет в вакууме по $О х$ . Ее падение производится перпендикулярно поверхности тела, которое способно полностью поглощать волну. Значение амплитуды напряженности магнитного поля равняется
$H_{m}$ . Определить давление волны на тело.

Решение

Необходимо учитывать, что тело, которое поглощает падающую на него энергию, оказывается под давлением, равным среднему значению объемной плотности энергии в электромагнитной волне.

Следует применять соотношение амплитуд электромагнитной волны, которое записывается:

$\sqrt{ε ε_{0}} E = \sqrt{μ μ_{0}} H$ .

Для того, чтобы зафиксировать уравнение колебаний $E$ при распространении волны по $О х$ , получим:

$E = E_{m} \cos (ω t - k x)$ .

Теперь перейдем к уравнению колебаний $H$ , если рассеивание плоской волны идет соответственно направлению $О х$ . Запишем:

$H = H_{m} \cos (ω t - k x)$ .

Следует, что значение объемной плотности электрической энергии примет вид:

$ω_{E} = \frac{ε ε_{0} E^{2}}{2}$ .

Формула плотности магнитного поля:

$ω_{H} = \frac{μ μ_{0} H^{2}}{2}$ .

Причем $ω_{E} = ω_{H}$ . Запись примет вид:

$ω = ω_{E} + ω_{H} = 2 ω_{H} = μ μ_{0} H^{2} = μ μ_{0} {H_{m}}^{2} \cos^{2} (ω t - k x)$ .

После усреднения плотности, имеем:

$<ω> = <μ μ_{0} {H_{m}}^{2} \cos^{2} (ω t - k x)>$ .

При $<\cos^{2} (ω t - k x)> = \frac{1}{2}$ получаем:

$p = <ω> = \frac{μ μ_{0} {H_{m}}^{2}}{2}$ .

Ответ: $p = <ω> = \frac{μ μ_{0} {H_{m}}^{2}}{2}$ .

Курсовая работа по физике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по физике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по физике

от 1 дня/ от 150 р.