Применение векторных диаграмм для анализа дифракционных картин

Как первое, так и второе слагаемые в выражении равняются проекциям на ось ординат векторов с модулями $\frac{e}{l_1}$ и $\frac{e}{l_2}$, производящих вращательные движения с эквивалентными угловыми скоростями $w$. Сумма данных величин равна проекции на ось ординат суммы векторов. Исходя из теоремы косинусов, можно заявить, что модуль суммы

$\sqrt{{\left(\frac{e}{l_1}\right)}^2+{\left(\frac{e}{l_2}\right)}^2-2\frac{e}{l_1}\frac{e}{l_2}\cos \left(\mathrm{\pi }-\mathrm{\phi }-\mathrm{\delta }\right)}$,

где $j$ представляет собой угол между направлениями складывающихся векторов, а $Eo\left(x\right)$ — амплитуду. Интенсивность волны $I\left(x\right)$ пропорциональна квадрату амплитуды напряженности, то есть:

${\left(\frac{e}{l_1}\right)}^2+{\left(\frac{e}{l_2}\right)}^2+2\frac{e}{l_1}\frac{e}{l_2}\cos \left(\mathrm{\phi }+\mathrm{\delta }\right)$.

Угол между направлениями складывающихся векторов $j$ эквивалентен разности фаз вкладов:

$\phi =l(l_2-l_1)=\frac{2\mathrm{\pi }({\mathrm{l}}_2-{\mathrm{l}}_1)}{\lambda }+\frac{4\mathrm{\pi bsin} \mathrm{a}}{\lambda }$.

Повторяя вычисления, выражаем:

$l_2-l_1\approx \frac{2b}{L}x$.

Условие максимума $j=2pN$, выходит, что для положений $x_{max}$ справедливо следующее выражение:

$x_{max}=\left(\frac{\lambda }{2b}N-\sin a\right)L$.

Из приведенной выше формулы следует, что положение любого из максимумов сдвинуто на $L \sin a$.

Рисунок $1$

Стоит обратить внимание на то, что при расчетах отклонения от плоскости симметрии установки предполагались малыми. В условиях произвольных отклонений место $L$ занимает величина $\frac{L}{\cos a}$. Данный факт позволяет сделать вывод о том, что дифракционная векторная картина в состоянии наклонного падения смещена вниз на $L tg a$, а также растянута в $\frac{1}{\cos a}$ раз.

Дифракция на краю непрозрачного экрана

Рисунок $3$

Излучаемая генератором трехсантиметровых волн электромагнитная волна, падает на край не пропускающего ее металлического экрана. Перемещение приемника параллельно экрану на определенном удалении от него провоцирует небольшие ослабления и усиления сигнала.

Поблизости с краем тени регистрируется усиление сигнала, заметно превышающее уровень вдали от него. На рисунке проиллюстрирован приблизительный вид зависимости интенсивности сигнала от расположения приемника.

Модель фронта плоской волны

Рисунок $4$

В приведенных на предыдущем занятии ситуациях одна, две, или же множество щелей в экране действовали подобно излучающим антеннам. В условиях исследования разнообразных физических обстоятельств применение подобного подхода зачастую оказывается довольно плодотворным. С точки зрения вторичных волн рассмотрим процесс излучения волновой поверхностью плоской волны в некоторую точку $P$ в данной модели.

Вдоль линии $AB$ на небольших расстояниях друг от друга параллельно друг другу расположены синхронно работающие и излучающие антенны. Во-первых, нам необходимо предсказать результирующее электрическое поле или интенсивность электромагнитной волны в точке $P$, расположенной на некотором расстоянии $L$ от линии $AB$. В процессе ее решения будем применять принцип суперпозиции, согласно которому результирующее электромагнитное поле в заданной точке эквивалентно геометрической сумме вкладов от каждой антенны. Более того, по той причине, что все вклады в электрическое поле являются гармоническими колебаниями одинаковой частоты, при рассмотрении воспользуемся построением векторных диаграмм.

1. Пускай точка $P$ располагается от цепочки антенн на таком расстоянии $r_0$, что фаза вклада в результирующую напряженность электрического поля в этой точке от антенны $№0$ составляет ноль. Совершающий колебания согласно косинусоидальному закону вклад $E_0=\frac{a}{r_0}\cos (k{r}_0-\omega t)$ проиллюстрируется вектором, вращающимся с некоторой угловой скоростью $w$. Вращательное движение векторов будем наблюдать из вращающейся системы координат. В таком случае вклад в напряженность электрического поля от антенны $№0$ отобразится в виде горизонтальной стрелки.
2. От антенны $№1$ волна проходит ненамного большее расстояние. Также происходит некоторое запаздывание волны. Фаза вклада от антенны $№1$ будет незначительно выше. Вектор, иллюстрирующий данный вклад $E_1=\frac{a}{r_1}\cos \left(k{r}_1-\omega t\right)$, немного повернут.
3. Запаздывание фазы колебаний $n$-ой “антенны” в сравнении с фазой $n^{-1}$ой предыдущей возрастает одновременно с удалением от антенны $№0$ (можно сравнить разности хода на рисунке). Таким образом, последовательность суммирующихся векторов скручивается в спираль Френеля.

Причина, по которой цепочка вкладов скручивается в спираль, а не в окружность, состоит в следующем. В процессе удаления антенн от точки наблюдения амплитуды вкладов постепенно уменьшаются и к тому моменту, когда очередь доходит до вклада с отставанием фазы на $2p$, даже в случае равномерного поворота последующих векторов, последний бы не вернулся в исходную точку.

Дифракция на краю непрозрачного экрана

Рисунок $5$

Как уже выводилось выше, любой из участков волнового фронта представляет собой источник электромагнитной волны, подобно маленькой антенне. Фронт плоской электромагнитной волны оказывает воздействие аналогично бесконечному множеству бесконечно тонких антенн, каждая из которых дает бесконечно малый вклад в результирующую волну. Амплитуда результирующего электрического поля является суммой бесконечного числа бесконечно малых векторов. Диаграмма сложения вкладов представляет собой непрерывную гладкую кривую, другими словами, спираль Корню. Амплитуда результирующего электрического поля изображается в виде вектора, который соединяет полюсы приведенной кривой. Стрелки вкладов помечены цифрами в соответствии с номерами антенн.

Пускай часть волнового фронта, вплоть до нормали, опущенного из точки $P$ на фронт, перекрывает непрозрачный экран. В таком случае от закрытой части фронта излучение в точку $P$ попадать не будет (вклады, проиллюстрированные нижней частью кривой). Напряженность результирующего электрического поля в данной ситуации эквивалентна вектору, проходящему от центра спирали в верхний полюс.