Спектральные приборы. Дифракционная решетка

Свет, излучаемый, например, газоразрядными лампами или одним из множества других подобных им приборами, включает в свой состав отдельные монохроматические составляющие с некоторыми выделенными значениями длин волн.

Белый свет имеет непрерывный спектр, излучение источников, в которых он испускается атомами вещества, и дискретный спектр.

Для разложения излучения в спектр в простейшем спектральном приборе используется призма избраженная на картинке $3.10.1.$

Рисунок $3.10.1.$ Разложение излучения в спектр с помощью призмы.

Выходя из линзы, параллельный пучок света падает на призму $P$. По причине дисперсии, свет различных длин волн излучается из призмы под разнящимися углами. В фокальной плоскости линзы ${Л}_2$ устанавливают экран или фотопластинку, для фокусировки места излучения. Таким образом, в разных частях экрана появляется проекция входной щели $S$ в свете различных длин волн.

Первый опыт по разложению белого света в спектр осуществил известный физик И. Ньютон в $1672$ году.

Дифракционные решетки

У качественных решеток штрихи, параллельные друг другу, имеют длину около $10 см$, где на каждый миллиметр решетки приходится до $2000$ штрихов. Причем, общая длина решетки может достигать $10–15 см$. Создание подобных решеток требует применения технологий самого высокого класса. Практически используются и более грубые версии решетки с $50 – 100$ штрихами на миллиметр, которые нанесены на поверхность прозрачной пленки. В роли дифракционной решетки может применяться небольшая часть компакт-диска или даже осколок граммофонной пластинки.

Рисунок $3.10.2.$ Дифракционная решетка.

Самый простой тип дифракционной решетки производится из прозрачных участков, то есть щелей, которые разделены непрозрачными промежутками. С помощью коллиматора, на решетку направляется параллельный пучок исследуемого света. Наблюдение проводится в фокальной плоскости линзы, установленной за плоскостью решетки (рис. $3.10.3$).

Рисунок $3.10.3.$ Дифракция света на решетке.

В каждой точке $P$ на экране в фокальной плоскости линзы сходятся лучи, который до линзы являлись параллельными между собой и расходились под некоторым углом $\theta$ к направлению падающей волны.

Интерференция волн

Для того, чтобы в точке $P$ прослеживался интерференционный максимум, разность хода $\Delta$ между волнами, который испускают соседние щели, должна быть эквивалентной целому числу длин волн:

$∆=d \sin {\theta }_m=m\lambda (m=0, \pm 1, \pm 2,...)$.

Где $d$ – это период дифракционной решетки, а $m$ – целое число, носящее название порядка дифракционного максимума. В точках экрана, для которых это условие выполнено, расположены главные максимумы дифракционной картины.

В фокальной плоскости линзы, расстояние $y_m$ между максимумами нулевого порядка $(m=0)$ и $m$-го порядка при сравнительно малых углах дифракции равняется:

${\gamma }_m=m\frac{\lambda }{\alpha }F$,

где $F$ – фокусное расстояние.

Распространение световой энергии в плоскости наблюдения значительно отличается от того, которое выходит в обыкновенных «двухлучевых» интерференционных схемах. В главные максимумы все волны приходят в фазе, из-за чего амплитуда колебаний увеличивается в $N$ раз, а интенсивность в $N^2$ раз, относительно колебания, которое провоцирует волна только от одной конкретной щели.

В условиях смещения из главных максимумов, стремительно теряется интенсивность колебаний. Для того, чтобы $N$ волн погасили друг друга, значение разности фаз должно измениться на $\frac{2\pi }{N}$, а не на $\pi$, как в случае интерференции двух волн.

На рис. $3.10.4$ можно увидеть векторную диаграмму колебаний, возбуждаемых волнами от всех $N$ щелей, если сдвиг фаз волн от соседних щелей равен $\frac{2\pi }{N}$, а соответствующая разность хода равна отношению $\frac{\lambda }{N}$.

Векторы, иллюстрирующие $N$ колебаний, в данной ситуации формируют замкнутый многоугольник. Следовательно, при переходе из главного максимума в соседний минимум, разность хода $\Delta =d \sin \theta$ смениться на $\frac{\lambda }{N}$. Исходя из данного условия, справедливым будет оценить угловую полуширину $\delta \theta$ главных максимумов:

$\delta ∆=\delta (d \sin \theta )=d \cos \theta \delta \theta \approx d·\delta \theta =\frac{\lambda }{N}$.

Здесь, дифракционные углы считаются достаточно малыми. Таким образом,

$\delta \theta =\frac{\lambda }{Nd}$.

Где $Nd$ – это полный размер решетки. Данное выражение находится в полной симметрии с теорией дифракции в параллельных лучах. Согласно этой теории, дифракционная расходимость параллельного пучка лучей эквивалентна отношению длины волны $\lambda$ к поперечному размеру препятствия.

Рисунок $3.10.4.$ Сложение колебаний в максимуме и минимуме интерференционной картины: $a$ – интерференция двух волн, $b$ – интерференция $N$ волн $(N=8)$.

Из описанного выше, можно сделать однозначный вывод: при дифракции света на решетке главные максимумы крайне узки. Рис. $3.10.5$ иллюстрирует изменение остроты главных максимумов при возрастании количества щелей решетки.

Рисунок $3.10.5.$ Распределение интенсивности при дифракции монохроматического света на решетках с различным числом щелей. $I_0$ – интенсивность колебаний при дифракции света на одной щели.

Исходя из формулы дифракционной решетки, мы можем заявить, что положение главных максимумов, кроме нулевого, зависит от длины волны $\lambda$. По этой причине решетка может разбивать излучение в спектр. Следовательно, она является спектральным прибором. В случае, если на решетку попадает не монохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции, а именно при каждом значении $m$, проявляется спектр исследуемого излучения.

Также стоит обратить внимание на то, что фиолетовая часть спектра расположена ближе к максимуму нулевого порядка. На рис. $3.10.6$ для белого света проиллюстрированы спектры различных порядков. Максимум нулевого порядка остается неокрашенным.

Рисунок $3.10.6.$ Разложение белого света в спектр с помощью дифракционной решетки.

Используя дифракционную решетку, мы получаем возможность производить крайне точные измерения длины волны. При условии, что период $d$ решетки известен, нахождение искомой величины (длины) приводится к измерению угла $\theta m$, соответствующего направлению на выбранной линии в спектре m-го порядка. На практике, чаще всего применяются спектры $1$-го или $2$-го порядков.

Решетка в любом спектральном порядке (кроме $m=0$) имеет возможность отсоединить одну волну от другой в случае, если в спектре изучаемого излучения есть две спектральные линии, обладающие длинами волн ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$.

Волновая природа света

Волновая природа света определяет разрешающую способность спектральных приборов, в частности, дифракционной решетки, так же от нее зависит предельное разрешение различных оптических инструментов, которые создают изображение объектов, таких как телескоп, микроскоп и др.

Из формулы решетки следует:

d$d·\cos \theta ·∆\theta =m∆\lambda$ или $∆\theta =\frac{m}{\delta \cos \theta }∆\lambda \approx \frac{m}{d}∆\lambda$

Где $\Delta \theta$ является угловым расстоянием между двумя главными максимумами в спектре $m$-го порядка для двух близких спектральных линий с разницей длин волн $\Delta \lambda$. Для упрощения, углы дифракции предполагаются незначительно малыми $(\cos \theta \approx 1)$. Уравнивая $\Delta \theta$ и $\delta \theta$, получаем оценку разрешающей силы решетки:

$\frac{\lambda }{Nd}=\frac{m}{d}∆\lambda$ или $R=\frac{\lambda }{∆\lambda }=mN$.