Спираль Корню

7 марта 2023
7 минут
1 138

Преподаватель физики

Определение 1

Интегралы следующего вида: $C (s) = \int_{0}^{s} \cos (\frac{{πξ}^{2}}{2}) d ξ, S (s) = \int_{0}^{s} \sin (\frac{{πξ}^{2}}{2}) d ξ$ носят название интегралов Френеля. Они вычисляются при помощи численных методов. Также существуют таблицы данных интегралов. Стоит учитывать, что при $C (\infty) = S (\infty) = 0, 5; C (- \infty) = S (- \infty) = - 0, 5$ .

Графически данные таблицы проиллюстрированы как спираль Корню (рис. $1$ ).

Спираль Корню

Рисунок $1$

Приведенная спираль включает в свой состав пару закручивающихся вокруг фокусов $F$ симметричных ветвей. С помощью верхней ветви изображается действие правой половины фронта, в свою очередь, нижняя ветвь соответствует левой части фронта. Отличие от спирали Френеля вызвано тем, что убывание начальных зон Шустера происходит несколько быстрее, чем убывание зон Френеля.

Спираль Корню используют в качестве метода анализа дифракции. Она дает возможность количественно анализировать распределение интенсивности в картине дифракции.

Применение спирали Корню для нахождения амплитуды колебаний

Для того, чтобы найти амплитуду колебаний в точке наблюдения, которая находится правее $B_{0}$ , как это изображено на рисунке $2$ , от какой-либо полосы волновой поверхности, необходимо построить вектор, замыкающий соответствующий исследуемой полосе участок спирали Корню. Таким образом, выходит следующая схема действий. Каждой точке, принадлежащей спирали Корню, соответствует определенное значение параметра $s$ (данный параметр пропорционален длине дуги спирали, которая берет начало в точке $О$ . Смотрите рисунок $1$ ). Величины параметра указываются на кривой.

Для того, чтобы применять спираль Корню нам необходимо обладать информацией о значении параметра $s$ . Его несложно найти, если известно расстояние $x$ от точки наблюдения до центра картины. Вычислив ширину первой зоны Шустера $\sqrt{λ l}$ , следующим делом с помощью формулы узнаем значение параметра $s$ .

Использование спирали Корню в целях нахождения интенсивности света

Рассмотрим пример механизма нахождения распределения интенсивности, применяя спираль Корню. Найдем ее на экране поблизости от края геометрической тени, в условиях дифракции плоской волны от прямого края непрозрачной полуплоскости (рис. $2$ ).

При условии, что точка $B$ расположена правее $B_{0}$ (рис. $2$ ), правая часть поверхности волны полностью открыта (от точки $C$ ). В этом случае на спирали амплитуда колебаний, в точке наблюдения, соответствует вектору $\vec{M_{5} F}$ , изображенному на рисунке $1$ . Начало приведенного вектора определяется положением точки наблюдения. В ситуации, когда такой точкой является $B_{0}$ , или же, другими словами, край геометрической тени, то точка начала вектора совпадает с точкой $O$ спирали Корню, а его вектор – амплитуда колебаний иллюстрируется в виде вектора $O F$ , который эквивалентен половине вектора $\vec{F_{1} F}$ от открытой полностью волновой поверхности. Таким образом, интенсивность света в точке $B_{0}$ в $4$ раза ниже, чем интенсивность при отсутствующих преградах. В условиях перемещения точки наблюдения в правую сторону от точки $B_{0}$ начало вектора, принадлежащее спирали Корню, производит движение по ее левой ветке, в этом случае слева от точки $C$ открываются новые зоны. Как результат амплитуда и интенсивность в точке $B$ будут претерпевать изменения от максимума к минимуму. Различие между ними в условиях удаления точек $B$ и $B_{0}$ друг от друга будет постепенно девальвироваться. При этом интенсивность света приближается к величине интенсивности падающего света $I_{0}$ (рис. $3$ ).

В случае, если точка наблюдения совершает перемещение от точки $B_{0}$ в область геометрической тени, то начало вектора, принадлежащее спирали Корню движется вправо от точки $O$ . В этой ситуации длина вектора, а вместе с ней и интенсивность света, монотонно снижается до нуля (рис. $3$ ).

Использование спирали Корню в целях нахождения интенсивности света

Рисунок $3$

Пример 2

Найдите расстояние между первыми двумя максимумами на экране, если картина дифракции наблюдается от края непрозрачной полубесконечной плоскости, которая расположена на расстоянии $l = 1 м$ от экрана. Длина волны света эквивалентна значению $λ = 0, 5 \cdot 10^{- 6} м$ .

Решение

Расстояние между максимумами может быть найдено при использовании приведенной ниже формулы:

$∆ x = x_{2} - x_{1}$ .

В качестве следующего шага применим формулу для параметра $s$ спирали Корню, из которой выразим $x$ :

$s = x \sqrt{\frac{2}{λ l}} \to x = s \sqrt{\frac{l λ}{2}}$ .

Таким образом, для $△ x$ справедливо выражение вида:

$∆ x = (s_{2} - s_{1}) \sqrt{\frac{l_{л}}{2}}$ .

Проведем вычисления:

$∆ x = (2, 3 - 1, 2) \sqrt{\frac{1 \cdot 0, 5 \cdot 10^{- 6}}{2}} = 5, 5 \cdot 10^{- 4} (м)$ .

Ответ: $∆ x = 5, 5 \cdot 10^{- 4} (м)$ .

Пример 3

Применяя понятие касательной к спирали Корню опишите поведение спирали.

Решение

Пускай угол наклона касательной к спирали Корню в выбранной точке будет равен $α$ , в таком случае справедливой будет следующая запись:

$t g α = \frac{d S}{d C}$ .

Формула спирали Корню в параметрическом виде:

$C (s) = \int_{0}^{s} \cos (\frac{π ξ^{2}}{2}) d ξ, S (s) = \int_{0}^{s} \sin (\frac{π ξ^{2}}{2}) d ξ$ .

Из уравнений $t g α = \frac{d S}{d C}$ и $C (s) = \int_{0}^{s} \cos (\frac{π ξ^{2}}{2}) d ξ, S (s) = \int_{0}^{s} \sin (\frac{π ξ^{2}}{2}) d ξ$ следует, что:

$t g α = t g (\frac{π s^{2}}{2}) \to α = \frac{π s^{2}}{2}$ .

Если $s = 0$ , то $α = 0$ . Из этого выходит вывод о том, что кривая Корню в начале координат касается оси $X$ . При $s = 1$ , $α = \frac{π}{2}$ кривая Корню уходит вверх. При $s = \sqrt{2}$ , $α = π$ , касательная горизонтальна, однако направляется против оси $X$ . При $s = \sqrt{3}, a = \frac{3}{2} π$ , касательная вертикально идет вниз. При $s = 2, α = 2 π$ , касательная в горизонтальном направлении (исходном).

Ответ: выражение $t g α = t g (\frac{{πs}^{2}}{2}) \to a = \frac{{πs}^{2}}{2}$ описывает, как спираль Корню обвивается вокруг своих фокусов $F, F_{1}$ (рис. $1$ ). Производя бесконечно много оборотов.