Механические волны

Когда в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды происходит возбуждение колебаний частиц, результатом взаимодействия атомов и молекул среды становится передача колебаний от одной точки к другой с конечной скоростью.

Виды механических волн

Различают следующие виды механических волн:

Интересно, что волны на поверхности жидкости включают в себя и поперечную, и продольную компоненты.

Рисунок $2.6.1.$ Распространение поперечной волны по резиновому жгуту в натяжении.

Рисунок $2.6.2.$ Распространение продольной волны по упругому стержню.

Модель твердого тела

Характерная черта механических волн – их распространение в материальных средах в отличие, например, от световых волн, способных распространяться и в пустоте. Для возникновения механического волнового импульса необходима среда, имеющая возможность запасать кинетическую и потенциальную энергии: т.е. среда должна иметь инертные и упругие свойства. В реальных средах эти свойства получают распределение по всему объему. К примеру, каждому небольшому элементу твердого тела присуща масса и упругость. Самая простая одномерная модель такого тела представляет из себя совокупность шариков и пружинок (рисунок $2.6.3$).

Рисунок $2.6.3.$ Простейшая одномерная модель твердого тела.

В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики имеют массу $m$, а пружинки – жесткость $k$. Такая простая модель дает возможность описать распространение продольных и поперечных механических волн в твердом теле. При распространении продольной волны шарики смещаются вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются, что есть деформация растяжения или сжатия. Если подобная деформация происходит в жидкой или газообразной среде, ее сопровождает уплотнение или разрежение.

Если в указанной модели твердого тела один или несколько шариков получают смещение перпендикулярно всей цепочке, можно говорить о возникновении деформации сдвига. Пружины, получившие деформацию в результате смещения, будут стремиться вернуть смещенные частицы в положение равновесия, а на ближайшие несмещенные частицы начнет оказываться влияние упругих сил, стремящихся отклонить эти частицы от положения равновесия. Итогом станет возникновение поперечной волны в направлении вдоль цепочки.

В жидкой или газообразной среде упругая деформация сдвига не возникает. Смещение одного слоя жидкости или газа на некоторое расстояние относительно соседнего слоя не приведет к появлению касательных сил на границе между слоями. Силы, которые оказывают воздействие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. Аналогично можно сказать и о газообразной среде.

В плане практического применения особый интерес представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой $A$ колебания частиц, частотой $f$ и длиной волны $\lambda$. Синусоидальные волны получают распространение в однородных средах с некоторой постоянной скоростью $\upsilon$.

Запишем выражение, показывающее зависимость смещения $y(x, t)$ частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне от координаты $x$ на оси $OX$, вдоль которой распространяется волна, и от времени $t$: 

$y(x, t)=A\cos \omega \left(t-\frac{x}{\upsilon }\right)=A\cos \left(\omega t-kx\right)$.

В приведенном выражении $k=\frac{\omega }{\upsilon }$ – так называемое волновое число, а $\omega =2\pi f$ является круговой частотой.

Бегущая волна

Рисунок $2.6.4$ демонстрирует «моментальные фотографии» поперечной волны в момент времени $t$ и $t+\Delta t$. За промежуток времени $\Delta t$ волна перемещается вдоль оси $OX$ на расстояние $\upsilon \Delta t$. Подобные волны носят название бегущих волн.

Рисунок $2.6.4.$ «Моментальные фотографии» бегущей синусоидальной волны в момент времени $t$ и $t+\Delta t$.

С течением времени $t$ происходит изменение координаты $x$ любой точки на графике, отображающем волновой процесс (к примеру, точка $А$ на рисунке $2.6.4$), при этом значение выражения $\omega t–kx$ остается неизменным. Спустя время $\Delta t$ точка $А$ переместится по оси $OX$ на некоторое расстояние $\Delta x=\upsilon \Delta t$. Таким образом: 

$\omega t-kx=\omega (t+∆t)-k(x+∆x)=const$ или $\omega ∆t=k∆x$.

Из указанного выражения следует:

$\upsilon =\frac{∆x}{∆t}=\frac{\omega }{k}$ или $k=\frac{2\mathrm{\pi }}{\lambda }=\frac{\omega }{\upsilon }$.

Становится очевидно, что бегущая синусоидальная волна имеет двойную периодичность – во времени и пространстве. Временной период является равным периоду колебаний $T$ частиц среды, а пространственный период равен длине волны $\lambda$.

Сделаем акцент на том, что уравнение $y(x,t)=A\cos \left(\omega t+kx\right)$ является описанием синусоидальной волны, получающей распространение в направлении, противоположном направлению оси $OX$, со скоростью $\upsilon =-\frac{\omega }{k}$.

Когда бегущая волна получает распространение, все частицы среды гармонически колеблются с некоторой частотой $\omega$. Это означает, что как и при простом колебательном процессе, средняя потенциальная энергия, являющаяся запасом некоторого объема среды, есть средняя кинетическая энергия в том же объеме, пропорциональная квадрату амплитуды колебаний.

Скорость распространения волны

Бегущие волны движутся в среде с определенными скоростями, находящимися в зависимости от типа волны, инертных и упругих свойств среды.

Скорость, с которой поперечные волны распространяются в натянутой струне или резиновом жгуте, имеет зависимость от погонной массы $\mu$ (или массы единицы длины) и силы натяжения $T$: 

$\upsilon =\sqrt{\frac{T}{\mu }}$.

Скорость, с которой продольные волны распространяются в безграничной среде, рассчитывается при участии таких величин как плотность среды $\rho$ (или масса единицы объема) и модуль всестороннего сжатия $B$ (равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления $\Delta p$ и относительным изменением объема $\frac{\Delta V}{V}$, взятому с обратным знаком): 

$∆p=-B\frac{∆V}{V}$.

Таким образом, скорость распространения продольных волн в безграничной среде, определяется по формуле:

$\upsilon =\sqrt{\frac{B}{\rho }}$.

Если речь идет о продольных волнах, получающих распространение в упругих стержнях, запись формулы для скорости волны содержит не модуль всестороннего сжатия, а модуль Юнга:

$\upsilon =\sqrt{\frac{E}{\rho }}$.

Для стали отличие $E$ от $B$ незначительно, а вот для прочих материалов оно может составлять $20–30 \%$ и больше.

Рисунок $2.6.5.$ Модель продольных и поперечных волн.

Стоячая волна

Предположим, что механическая волна, получившая распространение в некоторой среде, встретила на пути некое препятствие: в этом случае характер ее поведения резко изменится. К примеру, на границе раздела двух сред с различающимися механическими свойствами волна частично отразится, а частично проникнет во вторую среду. Волна, пробегающая по резиновому жгуту или струне, отразится от зафиксированного конца, и возникнет встречная волна. Если у струны зафиксированы оба конца, появятся сложные колебания, являющиеся итогом наложения (суперпозиции) двух волн, получающих распространение в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Так «работают» струны всех струнных музыкальных инструментов, зафиксированные с обоих концов. Схожий процесс возникает при звучании духовых инструментов, в частности, органных труб.

Если волны, распространяющиеся по струне во встречных направлениях, обладают синусоидальной формой, то при определенных условиях они образуют стоячую волну.

Допустим, струна длины $l$ зафиксирована таким образом, что один из ее концов расположен в точке $x=0$, а другой – в точке $x_1=L$ (рисунок $2.6.6$). В струне имеется натяжение $T$.

Рисунок $2.6.6.$ Возникновение стоячей волны в струне, зафиксированной на обоих концах.

По струне одновременно пробегают в противоположных направлениях две волны с одинаковой частотой:

• $y_1(x, t)=A \cos (\omega t+kx)$ – волна, распространяющаяся справа налево;
• $y_2(x, t)=A \cos (\omega t-kx)$ – волна, распространяющаяся слева направо.

Точка $x=0$ - один из зафиксированных концов струны: в этой точке падающая волна $y_1$ в результате отражения создает волну $y_2$. Отражаясь от зафиксированного конца, отраженная волна входит в противофазу с падающей. В соответствии с принципом суперпозиции (что есть экспериментальный факт) колебания, созданные встречными волнами во всех точках струны, суммируются. Из сказанного следует, что итоговое колебание в каждой точке определяется как сумма колебаний, вызванных волнами $y_1$ и $y_2$ в отдельности. Таким образом:

$y=y_1(x, t)+y_2(x, t)=(-2A \sin \omega t) \sin kx$.

Приведенное выражение является описанием стоячей волны. Введем некоторые понятия, применимые к такому явлению как стоячая волна.

Если следовать данным определениям, для возникновения стоячей волны оба зафиксированных конца струны должны являться узлами. Указанная ранее формула отвечает этому условию на левом конце $(x=0)$. Чтобы условие было выполнено и на правом конце $(x=L)$, необходимо чтобы $kL=n\pi$, где $n$ является любым целым числом. Из сказанного можно сделать вывод, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а только тогда, когда длина $L$ струны равна целому числу длин полуволн:

$l=n\frac{{\lambda }_n}{2}$ или ${\lambda }_n=\frac{2l}{n}(n=1, 2, 3,...)$.

Набору значений ${\lambda }_n$ длин волн соответствует набор возможных частот $f_{}$

$f_n=\frac{\upsilon }{{\lambda }_n}=n\frac{\upsilon }{2l}=n{f}_1$.

В этой записи $\upsilon =\sqrt{\frac{T}{\mu }}$ есть скорость, с которой распространяются поперечные волны по струне.

Рисунок $2.6.6$ иллюстрирует нормальную моду для $n=2$.

Стоячая волна не обладает потоком энергии. Энергия колебаний, «запертая» в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в остальные части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период $T$) преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно, подобно обычной колебательной системе. Однако, здесь имеется различие: если груз на пружине или маятник имеют единственную собственную частоту $f_0=\frac{{\omega }_0}{2\pi }$, то струна характеризуется наличием бесконечного числа собственных (резонансных) частот $f_n$. На рисунке $2.6.7$ показано несколько вариантов стоячих волн в струне, зафиксированной на обоих концах.

Рисунок $2.6.7.$ Первые пять нормальных мод колебаний струны, зафиксированной на обоих концах.

Согласно принципу суперпозиции стоячие волны различных видов (с разными значениями $n$) способны одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Рисунок $2.6.8.$ Модель нормальных мод струны.