Законы Кеплера

Гравитационное взаимодействие проще всего наблюдать на космических объектах, обладающих огромной массой. В окружающей нас повседневности действие гравитации между предметами наблюдать сложно, даже если вес предметов составляет сотни и тысячи килограммов. В микромире силы гравитационного взаимодействия малы настолько, что ими можно пренебречь, потому на первый план выходят другие виды взаимодействий между элементарными частицами и атомами.

Гравитация удерживает живых существ и предметы на поверхности планеты, определяет характер движения планет вокруг Солнца. Именно гравитационное воздействие определяет тот факт, что планеты удерживаются вокруг своих звезд, а спутники не могут уйти в космическое пространство и продолжат движение по орбите вокруг своей планеты.

Закон всемирного тяготения или как его еще называют, теория гравитации, был открыт именно при наблюдении за планетами Солнечной системы.

Если наблюдать за движением небесных тел с Земли, то может показаться, что все эти тела движутся по сложной траектории. Так, например, древний ученый Птолемей, первооткрыватель законов движения планет, поместил Землю в центр вселенной и предположил, что другие планеты и звезды движутся вокруг Земли по большим и малым орбитам.

Рисунок $1.24.1.$ Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне неподвижных звезд.

Законы движения планет, установленные Птолемеем никем из исследователей не оспаривалась на протяжении $14$ веков и только в середине $16$ столетия была заменена Коперником на гелиоцентрическую систему, согласно которой все планеты движутся вокруг Солнца.

На основе гелиоцентрической системы объяснить траектории движения небесных тел стало намного проще. На основании трудов Коперника и наблюдений за движением планет астронома из Дании Браге немецкий астроном Кеплер сформулировал три эмпирических закона движения планет в Солнечной системе.

Первый закон Кеплера

Мы проиллюстрировали первый закон Кеплера рисунком. На нем изображена планета, чья масса меньше массы звезды. Звезда находится в одном из фокусов эллипса, по которому движется планета. Точкой $Р$ мы обозначили ближайшую к звезде траекторию, носящая название перигелия. Точка $А$ – это наиболее удаленная от звезды точка траектории, которая называется афелием. Большая ось эллипса располагается между точками афелии и перигелия.

Рисунок $1.24.2.$ Эллиптическая орбита планеты массой $m<<M$. $a$ – длина большой полуоси, $F$ и $F\text{'}$ – фокусы орбиты.

В Солнечной системе все планеты за исключением Плутона движутся по орбитам, которые близки к круговым.

Второй закон Кеплера, или закон площадей

Рисунок $1.24.3.$ Закон площадей – второй закон Кеплера.

Эквивалентом второго закона Кеплера можно считать закон сохранения момента импульса. На рисунке, расположенном выше, изображен вектор импульса тела $\overrightarrow{p}$ и составляющие его $\overrightarrow{p_r}$ и $\overrightarrow{p_{\perp }}$.  Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время $\Delta t$, приближенно равна площади треугольника с основанием $r\Delta \theta$ и высотой $r$: 

$∆S=\frac{1}{2}{r}^2∆\theta$ или $\frac{∆S}{∆t}=\frac{1}{2}{r}^2\frac{∆\theta }{∆t}=\frac{1}{2}{r}^2\omega ; (∆t\to 0)$.

Здесь $\omega =\frac{∆\theta }{∆t}; (∆t\to 0)$ – угловая скорость.

Момент импульса $L$ по абсолютной величине равен произведению модулей векторов $\overrightarrow{p_r}$ и $\overrightarrow{p_{\perp }}$:

$L=r{p}_{\perp }=r\left(m{v}_{\perp }\right)=m{r}^2\omega$ так как $v_{\perp }=r\omega$.

Из этих отношений следует: 

$\frac{∆S}{∆t}=\frac{L}{2m}, \left(∆t\to 0\right)$

Поэтому, если по второму закону Кеплера $\frac{∆S}{∆t}=\mathrm{co}ns t$, то и момент импульса $L$ при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии $\overrightarrow{v_P}$ и афелии $\overrightarrow{v_A}$ направлены перпендикулярно радиус-векторам $\overrightarrow{r_P}$ и $\overrightarrow{r_A}$ из закона сохранения момента импульса следует: 

$rPvp=r_A{u}_A$

Третий закон Кеплера

Точность, с которой третий закон Кеплера выполняется для всех планет, составляющих Солнечную систему, составляет выше $1\%$.

На рисунке изображены две орбиты, по которым небесные тела движутся вокруг звезды. Одна из орбит круговая с радиусом $R$, а другая – эллиптическая с большой полуосью $a$. Если $R = a$, то согласно третьему закону Кеплера периоды обращения планет по таким орбитам будут одинаковы.

Рисунок $1.24.4.$ Круговая и эллиптическая орбиты. При $R=a$ периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Рисунок $1.24.5.$ Модель законов Кеплера.

Законы Кеплера очень долго были правилами, полученными эмпирически на основе наблюдений за движением небесных тел. Для того, чтобы получить возможность опираться на них в создании рабочих теорий, не хватало теоретического обоснования законов.

Таким обоснованием стало открытие закона всемирного тяготения Исааком Ньютоном:

Ньютон был первым из исследователей, кто пришел к выводу о том, что между любыми телами в космосе действуют гравитационные силы, которые и определяют характер движения этих тел. Частным случаем такого взаимодействия является  сила тяжести, воздействующая на тела, расположенные на поверхности и вблизи планет.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что $T^2 ~ R^3$, где $Т$ – период обращения, $R$ – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца: 

$F~{\omega }^{2}R=\frac{{\left(2\pi \right)}^{2}R}{T^2}$.

Если $T^2 ~ R^3$, то $F~\frac{1}{R^2}$.

Свойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях.

Рисунок $1.24.6.$ Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле.

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа $∆A_i$  гравитационной силы $\overrightarrow{F}$ на малом перемещении $∆\overrightarrow{s_i}=∆\overrightarrow{r_i}$ есть: 

$∆A_i=-G\frac{Mm}{r_i^2}∆r_i$

Полная работа при перемещении тела массой $m$ из начального положения в бесконечность находится суммированием работ $\Delta A_i$ на малых перемещениях: 

$A_{t\infty }=\sum _r^{\infty }∆A_i$

В пределе при $\Delta r_i\to 0$ эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение:

$E_p=A_{r\infty }=-G\frac{Mm}{r}$

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии $r$ от центра тяготения и имеет некоторую скорость $v$, его полная механическая энергия равна

$E=E_k+E_p=\frac{m{v}^2}{2}-G\frac{Mm}{r}=const$

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Первая и вторая космические скорости

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Мы проиллюстрировали понятие первой и второй космической скорости рисунком. Если скорость космического корабля равна $v_1=7.9·{10}^3 м/с$ и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих $v_1$, но меньших ${\upsilon }_2=11,2·{10}^3 м/с$, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости $v_2$ корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Рисунок $1.24.8.$ Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности Земли. $1$: $v=v_1$– круговая траектория; $2$: $v_1<v<v_2$ – эллиптическая траектория; $3$: $v=11,1·{10}^3 м/с$ – сильно вытянутый эллипс; $4$: $v=v_2$ – параболическая траектория; $5$: $v>v_2$ – гиперболическая траектория; $6$: траектория Луны.