Деление натуральных чисел с остатком: правило, примеры решений

Содержание:

Многие числа нельзя разделить нацело, при делении часто присутствует остаток, отличный от нуля. В этой статье мы разберем способы деления натуральных чисел с остатком и подробно рассмотрим их применение на примерах.

Начнем с деления натуральных чисел с остатком в столбик, затем рассмотрим деление с помощью последовательного вычитания. Наконец, закончим разбором метода подбора неполного частного. Приведем алгоритм деления с остатком для наиболее общего случая и покажем, как проводить проверку результата деления натуральных чисел с остатком.

Деление натуральных чисел столбиком с остатком

Это один из самых удобных способов деления. Подробно он описан в отдельной статье, посвященной делению натуральных чисел столбиком. Здесь мы не будем приводить всю теорию заново, но сконцентрируемся именно на случае деления с остатком.

Приведем решение примера, так как понять суть метода проще всего на практике.

Деление натуральных чисел столбиком с остатком — Пример 1. Как делить натуральные числа с остатком?

Деление чисел с остатком через последовательное вычитание

Чтобы найти неполное частное и остаток, можно прибегнуть к последовательному вычитанию делителя из делимого. Этот способ не всегда целесообразен, однако в некоторых случаях его очень удобно применять. Вновь обратимся к примеру.

Пример 2. Деление с остатком через последовательное вычитание.

Пусть у нас есть $7$ яблок. Нам нужно эти $7$ яблок разложить в пакеты по $3$ яблока. Иными словами, $7$ разделить на $3$ .

Возьмем из начального количества яблок $3$ штуки и положим в один пакет. У нас останется $7 - 3 = 4$ яблока. Теперь, из оставшихся яблок снова отнимаем $3$ штуки и кладем уже в другой пакет. Остается $4 - 3 = 1$ яблоко.

$1$ яблоко - это остаток от деления, так как на этом этапе мы уже не можем сформировать еще один пакет с тремя яблоками и деление, по сути, завершено. Результат деления:

$7 \div 3 = 2 (остаток 1)$

Это значит, что число $3$ как бы умещается в числе $7$ два раза, а единица - остаток, меньший чем $3$ .

Рассмотрим еще один пример. На этот раз, приведем только математические выкладки, не прибегая к аналогиям.

Пример 3. Деление с остатком через последовательное вычитание.

Вычислим: $145 \div 46$ .

$145 - 46 = 99$ .

Число $99$ больше, чем $46$ , поэтому продолжаем последовательное вычитание делителя:

$99 - 46 = 53$ .

Повторяем эту операцию еще раз:

$53 - 46 = 7$

В результате, нам понадобилось последовательно вычесть делитель из делимого $3$ раза до того, как мы получили остаток - результат вычитания, который меньше делителя. В нашем случае остатком является число $7$ .

$145 \div 46 = 3 (остаток 7)$ .

Метод последовательного вычитания непригоден, когда делимое меньше делителя. В таком случае можно сразу записать ответ: неполное частное равно нулю, а остаток равен самому делимому.

Если $a < b$ , то $a \div b = 0 (остаток a)$ .

Например:

$12 \div 36 = 0 (остаток 12) 47 \div 88 = 0 (остаток 47)$

Также касательно метода последовательного вычитания нужно отметить, что он удобен только в случаях, когда вся операция деления сводится к небольшому количеству вычитаний. Если делимое во много раз больше делителя, использование этого метода будет нецелесообразно и связано с множеством громоздких вычислений.

Метод подбора неполного частного

При делении натуральных чисел с остатком можно вычислить результат методом подбора неполного частного. Покажем, как можно вести процесс подбора, и на чем он основан.

Во-первых, определим, среди каких чисел нужно искать неполное частное. Из самого определения процесса деления понятно, что неполное частное равно нулю, либо является одним из натуральных чисел $1, 2, 3$ и т.д.

Во-вторых, установим связь между делителем, делимым, неполным частным и остатком. Рассмотрим уравнение $d = a - b \cdot c$ . Здесь $d$ - остаток от деления, $a$ - делимое, $b$ - делитель, $с$ - неполное частное.

В-третьих, не будем забывать, что остаток всегда меньше делителя.

Теперь рассмотрим непосредственно процесс подбора. Делимое $a$ и делитель $b$ известны нам с самого начала. В качестве неполного частного $с$ будем последовательно принимать числа из ряда $0, 1, 2, 3$ и т.д. Применяя формулу $d = a - b \cdot c$ и вычисляя полученное значение с делителем, закончим процесс, когда остаток $d$ будет меньше, чем делитель $b$ . Число, взятое за $с$ на этом шаге и будет неполным частным.

Разберем применение этого метода на примере.

Пример 4. Деление с остатком методом подбора

Разделим $267$ на $21$ .

$a = 267; b = 21 .$ Подберем неполное частное.

Используем формулу $d = a - b \cdot c$ и будем последовательно перебирать $c$ , придавая ему значения $0, 1, 2, 3$ и т.д.

Если $с = 0$ , имеем: $d = a - b \cdot c = 267 - 21 \cdot 0 = 267$ . Число $267$ больше, чем $21$ , поэтому продолжаем подстановку.

При $с = 1$ имеем: $d = a - b \cdot c = 267 - 21 \cdot 1 = 246$ . Т.к. $246 > 21$ , снова повторяем процесс.

При $с = 2$ имеем: $d = a - b \cdot c = 267 - 21 \cdot 2 = 267 - 42 = 225; 225 > 21$ .

При $с = 3$ имеем: $d = a - b \cdot c = 267 - 21 \cdot 3 = 267 - 63 = 204; 204 > 21$ .

...

При $с = 12$ имеем: $d = a - b \cdot c = 267 - 21 \cdot 12 = 267 - 252 = 15; 15 < 21$ .

На этом этапе процесс деления можно считать законченным. Неполное частное $с = 12$ , а остаток деления равен $15$ .

Алгоритм деления натуральных чисел с остатком

Когда рассмотренные выше методы подбора неполного частного и последовательного вычитания требуют слишком громоздких вычислений, для деления с остатком применяется следующий метод. Рассмотрим алгоритм деления натурального числа $a$ на число $b$ с остатком.

Вспомним, что в случае, когда $a < b,$ неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому $a$ . Мы будем рассматривать случай, когда $a > b$ .

Сформулируем три вопроса и ответим на них:

Что там известно?
Что нам нужно найти?
Как мы будем это делать?

Изначально известными являются делимое и делитель: $a$ и $b$ .

Найти нужно неполное частное $c$ и остаток $d$ .

Приведем формулу, которая задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. $a = b \cdot c + d$ . Именно это соотношение мы и возьмем за основу алгоритма деления натуральных чисел с остатком. Делимое $a$ нужно представить в виде суммы $a = b \cdot c + d$ , тогда мы найдем искомые величины.

Алгоритм деления, благодаря которому мы представим $a$ в виде суммы $a = b \cdot c + d$ очень схож с алгоритмом деления натуральных чисел без остатка. Приведем ниже шаги алгоритма на примере деления числа $899$ на $47$ .

1. Первым делом смотрим на делимое и делитель. Выясняем и запоминаем, на сколько знаков число в записи делимого больше числа в делителе. В нашем конкретном примере в делимом три знака, а в делителе - два.

$3 - 2 = 1$

Запомним это число.

2. Справа в записи делителя допишем число нулей, определенное разницей между количеством знаков в делимом и делителе. В нашем случае нужно дописать один нуль. Если записанное число больше делимого, то нужно из запомненного в первом пункте числа вычесть единицу.

В нашем примере справа от $47$ дописываем нуль. Так как $470 < 899$ , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число $1$ так и остается у нас в памяти.

3. Справа к цифре $1$ приписываем количество нулей, равное числу, определенному в предыдущем пункте. В нашем примере, приписывая к единице один нуль, получаем число $10$ . В результате данного действия мы получили рабочую единицу разряда, с которым будем работать дальше.

4. Будем последовательно умножать делитель на $1, 2, 3 . .$ и т.д. единицы рабочего разряда, пока не получим число, которое больше или равно делимому.

Рабочий разряд в нашем примере - десятки. После умножения делителя на одну единицу рабочего разряда, получаем $470$ .

$470 < 899$ , поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: $47 \cdot 20 = 940; 940 > 899$ .

Число, которое мы получили на предпоследнем шаге $(470 = 47 \cdot 10)$ является первым из искомых слагаемых.

5. Найдем разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то переходим к нахождению второго слагаемого.

Шаги $1 - 5$ повторяем, однако в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если снова получаем число, большее, чем делитель, снова по-кругу повторяем пункты $1 - 5$ , но уже с новым числом в качестве делимого. Продолжаем, пока полученное здесь число не будет меньше делителя. Переходим к завершающему этапу. Забегая вперед, скажем, что последнее полученное число и будет равно остатку.

Обратимся к примеру. $899 - 470 = 429, 429 > 47$ . Повторяем шаги $1 - 5$ алгоритма с числом $429$ , взятым в качестве делимого.

1. В записи числа $429$ на один знак больше, чем в записи числа $47$ . Запоминаем разницу - число $1$ .

2. В записи делимого справа дописываем один нуль. Получаем число $470$ . Так как $470 > 429$ , из запомненного в предыдущем пункте числа $1$ вычитаем $1$ и получаем $1 - 1 = 0$ . Запоминаем $0$ .

3. Так как в предыдущем пункте мы получили число $0$ и запомнили его, нам не нужно прибавлять ни одного нуля к единице справа. Таким образом, рабочим разрядом являются единицы

4. Последовательно умножим делитель $47$ на $1, 2, 3 . .$ и т.д. Не будем приводить подробные выкладки, а обратим внимание на конечный результат: $47 \cdot 9 = 423 < 429$ , $47 \cdot 10 = 470 > 429$ . Таким образом, второе искомое слагаемое - $47 \cdot 9 = 423$ .

5. Разность между $429$ и $423$ равна числу $6$ . Так как $6 < 47$ , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.

6. Целью предыдущих действий было представление делимого в виде суммы нескольких слагаемых. Для нашего примера мы получили $899 = 470 + 423 + 6$ . Вспоминаем, что $470 = 47 \cdot 10, 423 = 47 \cdot 9$ . Перепишем равенство:

$899 = 47 \cdot 10 + 47 \cdot 9 + 6$

Применим распределительное свойство умножения.

$899 = 47 \cdot 10 + 47 \cdot 9 + 6 = 47 \cdot (10 + 9) + 6$

$899 = 47 \cdot 19 + 6$ .

Таким образом, мы представили делимое в виде уже данной ранее формулы $a = b \cdot c + d$ .

Искомые неизвестные:неполное частное $с = 19$ , остаток $d = 6$ .

Безусловно, при решении практических примеров нет нужды расписывать все действия так подробно. Покажем это:

Пример 5. Деление натуральных чисел с остатком

Разделим числа $42252$ и $68$ .

Используем алгоритм. Первые пять шагов дают первое слагаемое - число $40800 = 68 \cdot 600$ .

Снова повторяем первые пять шагов алгоритма с числом $1452 = 42252 - 40800$ и получаем второе слагаемое $1360 = 68 \cdot 20$

Третий раз проходим шаги аглоритма, но у же с новым числом $92 = 1452 - 1360$ . Третье слагаемое равно $68 = 68 \cdot 1$ . Остаток равен $24 = 92 - 68$ .

В результате получаем:

$42252 = 40800 + 1360 + 68 + 24 = 68 \cdot 600 + 68 \cdot 20 + 68 \cdot 1 + 24 = = 68 \cdot (600 + 20 + 1) + 24 = 68 \cdot 621 + 24$

Неполное частное равно $621$ , остаток равен $24$ .

Деление натуральных чисел с остатком. Проверка результата

Деление натуральных чисел с остатком, особенно при больших числах, довольно трудоемкий и громоздкий процесс. Допустить ошибку в вычислениях может каждый. Именно поэтому, проверка результата деления поможет понять, все ли вы сделали правильно. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком выполняется в два этапа.

На первом этапе проверяем, не получился ли остаток больше делителя. Если нет, то все хорошо. Иначе, можно сделать вывод, что что-то пошло не так.

Важно!

Остаток всегда меньше делителя!

На втором этапе проверяется справедливость равенства $a = b \cdot c + d$ . Если равенство после подстановки значений оказывается верным, то и деление было выполнено без ошибок.

Пример 6. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком.

Проверим, верно ли, что $506 \div 28 = 17 (остаток 30)$ .

Сравниваем остаток и делитель: $30 > 28$ .

Значит, деление выполнено неверно.

Пример 7. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком.

Школьник разделил $121$ на $13$ и получил в результате неполное частное $9$ с остатком $5$ . Правильно ли он сделал?

Чтобы узнать это, сначала сравниваем остаток и делитель: $5 < 13$ .

Первый пункт проверки пройден, переходим ко второму.

Запишем формулу $a = b \cdot c + d$ . $a = 121; b = 13; c = 9; d = 5$ .

Подставляем значения и сравниваем результаты

$13 \cdot 9 + 5 = 117 + 5 = 122; 121 \neq 122$

Значит, в вычисления школьника где-то закралась ошибка.

Пример 8. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком.

Студент выполнял лабораторную работу по физике. В ходе выполнения ему понадобилось разделить $5998$ на $111$ . В результате у него получилось число $54$ с остатком $4$ . Все ли правильно посчитано?

Проверим! Остаток $4$ меньше, чем делитель $111$ , поэтому переходим ко второму этапу проверки.

Используем формулу $a = b \cdot c + d$ , где $a = 5998; b = 111; c = 54; d = 4$ .

После подстановки, имеем:

$5998 = 111 \cdot 54 + 4 = 5994 + 4 = 5998$ .

Равенство корректно, а значит, и деление выполнено верно.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта