Деление натуральных чисел с остатком: правило, примеры решений

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Содержание:

Многие числа нельзя разделить нацело, при делении часто присутствует остаток, отличный от нуля. В этой статье мы разберем способы деления натуральных чисел с остатком и подробно рассмотрим их применение на примерах.

Начнем с деления натуральных чисел с остатком в столбик, затем рассмотрим деление с помощью последовательного вычитания. Наконец, закончим разбором метода подбора неполного частного. Приведем алгоритм деления с остатком для наиболее общего случая и покажем, как проводить проверку результата деления натуральных чисел с остатком.

Деление натуральных чисел столбиком с остатком

Это один из самых удобных способов деления. Подробно он описан в отдельной статье, посвященной делению натуральных чисел столбиком. Здесь мы не будем приводить всю теорию заново, но сконцентрируемся именно на случае деления с остатком.

Приведем решение примера, так как понять суть метода проще всего на практике.

Пример 1. Как делить натуральные числа с остатком?

Разделим натуральное число  на натуральное число .

Решение

Проводим деление столбиком и записываем:

Деление натуральных чисел столбиком с остатком

Ответ: неполное частное от деления равно 2823, остаток 13

Деление чисел с остатком через последовательное вычитание

Чтобы найти неполное частное и остаток, можно прибегнуть к последовательному вычитанию делителя из делимого. Этот способ не всегда целесообразен, однако в некоторых случаях его очень удобно применять. Вновь обратимся к примеру.

Пример 2. Деление с остатком через последовательное вычитание.

Пусть у нас есть  яблок. Нам нужно эти  яблок разложить в пакеты по  яблока. Иными словами,  разделить на . Сколько потребуется пакетов?

Решение

Возьмем из начального количества яблок  штуки и положим в один пакет. У нас останется  яблока. Теперь, из оставшихся яблок снова отнимаем  штуки и кладем уже в другой пакет. Остается  яблоко. 

 яблоко - это остаток от деления, так как на этом этапе мы уже не можем сформировать еще один пакет с тремя яблоками и деление, по сути, завершено. Результат деления:

Это значит, что число  как бы умещается в числе  два раза, а единица - остаток, меньший чем 

Ответ: 3 пакета

Рассмотрим еще один пример. На этот раз, приведем только математические выкладки, не прибегая к аналогиям.

Пример 3. Деление с остатком через последовательное вычитание.

Вычислим: .

Решение

.

Число  больше, чем , поэтому продолжаем последовательное вычитание делителя:

.

Повторяем эту операцию еще раз:

В результате, нам понадобилось последовательно вычесть делитель из делимого  раза до того, как мы получили остаток - результат вычитания, который меньше делителя. В нашем случае остатком является число .

.

Ответ: 3, остаток 7

Метод последовательного вычитания непригоден, когда делимое меньше делителя. В таком случае можно сразу записать ответ: неполное частное равно нулю, а остаток равен самому делимому.

Если , то .

Например:

Также касательно метода последовательного вычитания нужно отметить, что он удобен только в случаях, когда вся операция деления сводится к небольшому количеству вычитаний. Если делимое во много раз больше делителя, использование этого метода будет нецелесообразно и связано с множеством громоздких вычислений.

Метод подбора неполного частного

При делении натуральных чисел с остатком можно вычислить результат методом подбора неполного частного. Покажем, как можно вести процесс подбора, и на чем он основан.

Во-первых, определим, среди каких чисел нужно искать неполное частное. Из самого определения процесса деления понятно, что неполное частное равно нулю, либо является одним из натуральных чисел  и т.д.

Во-вторых, установим связь между делителем, делимым, неполным частным и остатком. Рассмотрим уравнение . Здесь  - остаток от деления,  - делимое,  - делитель,  - неполное частное. 

В-третьих, не будем забывать, что остаток всегда меньше делителя.

Теперь рассмотрим непосредственно процесс подбора. Делимое  и делитель  известны нам с самого начала. В качестве неполного частного  будем последовательно принимать числа из ряда  и т.д. Применяя формулу  и вычисляя полученное значение с делителем, закончим процесс, когда остаток  будет меньше, чем делитель . Число, взятое за  на этом шаге и будет неполным частным. 

Разберем применение этого метода на примере.

Пример 4. Деление с остатком методом подбора

Разделим  на .

Решение

 Подберем неполное частное.

Используем формулу  и будем последовательно перебирать , придавая ему значения  и т.д.

Если , имеем: . Число  больше, чем , поэтому продолжаем подстановку.

При  имеем: . Т.к. , снова повторяем процесс.

При  имеем: .

При  имеем: .

...

При  имеем: .

На этом этапе процесс деления можно считать законченным. Неполное частное , а остаток деления равен .

Ответ:  Неполное частное , а остаток деления равен .

Алгоритм деления натуральных чисел с остатком

Когда рассмотренные выше методы подбора неполного частного и последовательного вычитания требуют слишком громоздких вычислений, для деления с остатком применяется следующий метод. Рассмотрим алгоритм деления натурального числа  на число  с остатком.  

Вспомним, что в случае, когда  неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому . Мы будем рассматривать случай, когда .

Сформулируем три вопроса и ответим на них:

  1. Что там известно?
  2. Что нам нужно найти?
  3. Как мы будем это делать?

Изначально известными являются делимое и делитель:  и .

Найти нужно неполное частное  и остаток 

Приведем формулу, которая задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. . Именно это соотношение мы и возьмем за основу алгоритма деления натуральных чисел с остатком. Делимое  нужно представить в виде суммы , тогда мы найдем искомые величины.

Алгоритм деления, благодаря которому мы представим  в виде суммы  очень схож с  алгоритмом деления натуральных чисел без остатка. Приведем ниже шаги алгоритма на примере деления числа  на .

1. Первым делом смотрим на делимое и делитель. Выясняем и запоминаем, на сколько знаков число в записи делимого больше числа в делителе. В нашем конкретном примере в делимом три знака, а в делителе - два. 

Запомним это число.

2. Справа в записи делителя допишем число нулей, определенное разницей между количеством знаков в делимом и делителе. В нашем случае нужно дописать один нуль. Если записанное число больше делимого, то нужно из запомненного в первом пункте числа вычесть единицу. 

В нашем примере справа от  дописываем нуль. Так как , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число  так и остается у нас в памяти.

3. Справа к цифре  приписываем количество нулей, равное числу, определенному в предыдущем пункте. В нашем примере, приписывая к единице один нуль, получаем число . В результате данного действия мы получили рабочую единицу разряда, с которым будем работать дальше.

4. Будем последовательно умножать делитель на   и т.д. единицы рабочего разряда, пока не получим число, которое больше или равно делимому. 

Рабочий разряд в нашем примере - десятки. После умножения делителя на одну единицу рабочего разряда, получаем .

, поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: .

Число, которое мы получили на предпоследнем шаге  является первым из искомых слагаемых.

5. Найдем разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то переходим к нахождению второго слагаемого. 

Шаги  повторяем, однако в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если снова получаем число, большее, чем делитель, снова по-кругу повторяем пункты  , но уже с новым числом в качестве делимого. Продолжаем, пока полученное здесь число не будет меньше делителя. Переходим к завершающему этапу. Забегая вперед, скажем, что последнее полученное число и будет равно остатку.

Обратимся к примеру. . Повторяем шаги  алгоритма с числом , взятым в качестве делимого.

1. В записи числа  на один знак больше, чем в записи числа . Запоминаем разницу - число .

2. В записи делимого справа дописываем один нуль. Получаем число . Так как , из запомненного в предыдущем пункте числа  вычитаем  и получаем . Запоминаем .

3. Так как в предыдущем пункте мы получили число  и запомнили его, нам не нужно прибавлять ни одного нуля к единице справа. Таким образом, рабочим разрядом являются единицы

4. Последовательно умножим делитель  на  и т.д. Не будем приводить подробные выкладки, а обратим внимание на конечный результат: . Таким образом, второе искомое слагаемое - .

5. Разность между  и  равна числу . Так как , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.

6. Целью предыдущих действий было представление делимого в виде суммы нескольких слагаемых. Для нашего примера мы получили . Вспоминаем, что . Перепишем равенство:

Применим распределительное свойство умножения.

.

Таким образом, мы представили делимое в виде уже данной ранее формулы .

Искомые неизвестные: неполное частное , остаток .

Безусловно, при решении практических примеров нет нужды расписывать все действия так подробно. Покажем это:

Пример 5. Деление натуральных чисел с остатком

Разделим числа  и .

Решение

Используем алгоритм. Первые пять шагов дают первое слагаемое - число .

Снова повторяем первые пять шагов алгоритма с числом  и получаем второе слагаемое 

Третий раз проходим шаги аглоритма, но у же с новым числом . Третье слагаемое равно . Остаток равен .

В результате получаем:

Ответ: Неполное частное равно , остаток равен .

Деление натуральных чисел с остатком. Проверка результата

Деление натуральных чисел с остатком, особенно при больших числах, довольно трудоемкий и громоздкий процесс. Допустить ошибку в вычислениях может каждый. Именно поэтому, проверка результата деления поможет понять, все ли вы сделали правильно. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком выполняется в два этапа.

На первом этапе проверяем, не получился ли остаток больше делителя. Если нет, то все хорошо. Иначе, можно сделать вывод, что что-то пошло не так.

Важно!

Остаток всегда меньше делителя!

На втором этапе проверяется справедливость равенства . Если равенство после подстановки значений оказывается верным, то и деление было выполнено без ошибок.

Пример 6. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком. 

Проверим, верно ли, что .

Решение

Сравниваем остаток и делитель: .

Ответ:  деление выполнено неверно.

Пример 7. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком. 

Школьник разделил  на  и получил в результате неполное частное  с остатком . Правильно ли он сделал?

Решение

Чтобы узнать это, сначала сравниваем остаток и делитель: .

Первый пункт проверки пройден, переходим ко второму.

Запишем формулу .

Подставляем значения и сравниваем результаты

Ответ: ошибка.

Пример 8. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком. 

Студент выполнял лабораторную работу по физике. В ходе выполнения ему понадобилось разделить  на . В результате у него получилось число  с остатком . Все ли правильно посчитано?

Решение

Проверим! Остаток  меньше, чем делитель , поэтому переходим ко второму этапу проверки.

Используем формулу , где .

После подстановки, имеем:

.

Ответ: деление выполнено верно.

Математические онлайн-калькуляторы

Навигация по статьям

Выполненные работы по математике

  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу