Деление натуральных чисел с остатком: правило, примеры решений

Многие числа нельзя разделить нацело, при делении часто присутствует остаток, отличный от нуля. В этой статье мы разберем способы деления натуральных чисел с остатком и подробно рассмотрим их применение на примерах.

Начнем с деления натуральных чисел с остатком в столбик, затем рассмотрим деление с помощью последовательного вычитания. Наконец, закончим разбором метода подбора неполного частного. Приведем алгоритм деления с остатком для наиболее общего случая и покажем, как проводить проверку результата деления натуральных чисел с остатком.

Деление натуральных чисел столбиком с остатком

Это один из самых удобных способов деления. Подробно он описан в отдельной статье, посвященной делению натуральных чисел столбиком. Здесь мы не будем приводить всю теорию заново, но сконцентрируемся именно на случае деления с остатком.

Приведем решение примера, так как понять суть метода проще всего на практике.

Деление чисел с остатком через последовательное вычитание

Чтобы найти неполное частное и остаток, можно прибегнуть к последовательному вычитанию делителя из делимого. Этот способ не всегда целесообразен, однако в некоторых случаях его очень удобно применять. Вновь обратимся к примеру.

Рассмотрим еще один пример. На этот раз, приведем только математические выкладки, не прибегая к аналогиям.

Метод последовательного вычитания непригоден, когда делимое меньше делителя. В таком случае можно сразу записать ответ: неполное частное равно нулю, а остаток равен самому делимому.

Если $a < b$, то $a ÷ b = 0 \text{(остатокquada)}$.

Например:

$12 ÷ 36 = 0 \text{(остатокquad12)} \; 47 ÷ 88 = 0 \text{(остатокquad47) }$

Также касательно метода последовательного вычитания нужно отметить, что он удобен только в случаях, когда вся операция деления сводится к небольшому количеству вычитаний. Если делимое во много раз больше делителя, использование этого метода будет нецелесообразно и связано с множеством громоздких вычислений.

Метод подбора неполного частного

При делении натуральных чисел с остатком можно вычислить результат методом подбора неполного частного. Покажем, как можно вести процесс подбора, и на чем он основан.

Во-первых, определим, среди каких чисел нужно искать неполное частное. Из самого определения процесса деления понятно, что неполное частное равно нулю, либо является одним из натуральных чисел $1 , 2 , 3$ и т.д.

Во-вторых, установим связь между делителем, делимым, неполным частным и остатком. Рассмотрим уравнение $d = a - b · c$. Здесь $d$ - остаток от деления, $a$ - делимое, $b$ - делитель, $с$ - неполное частное. 

В-третьих, не будем забывать, что остаток всегда меньше делителя.

Теперь рассмотрим непосредственно процесс подбора. Делимое $a$ и делитель $b$ известны нам с самого начала. В качестве неполного частного $с$ будем последовательно принимать числа из ряда $0 , 1 , 2 , 3$ и т.д. Применяя формулу $d = a - b · c$ и вычисляя полученное значение с делителем, закончим процесс, когда остаток $d$ будет меньше, чем делитель $b$. Число, взятое за $с$ на этом шаге и будет неполным частным. 

Разберем применение этого метода на примере.

Алгоритм деления натуральных чисел с остатком

Когда рассмотренные выше методы подбора неполного частного и последовательного вычитания требуют слишком громоздких вычислений, для деления с остатком применяется следующий метод. Рассмотрим алгоритм деления натурального числа $a$ на число $b$ с остатком.  

Вспомним, что в случае, когда $a < b ,$ неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому $a$. Мы будем рассматривать случай, когда $a > b$.

Сформулируем три вопроса и ответим на них:

1. Что там известно?
2. Что нам нужно найти?
3. Как мы будем это делать?

Изначально известными являются делимое и делитель: $a$ и $b$.

Найти нужно неполное частное $c$ и остаток $d$. 

Приведем формулу, которая задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. $a = b · c + d$. Именно это соотношение мы и возьмем за основу алгоритма деления натуральных чисел с остатком. Делимое $a$ нужно представить в виде суммы $a = b · c + d$, тогда мы найдем искомые величины.

Алгоритм деления, благодаря которому мы представим $a$ в виде суммы $a = b · c + d$ очень схож с  алгоритмом деления натуральных чисел без остатка. Приведем ниже шаги алгоритма на примере деления числа $899$ на $47$.

1. Первым делом смотрим на делимое и делитель. Выясняем и запоминаем, на сколько знаков число в записи делимого больше числа в делителе. В нашем конкретном примере в делимом три знака, а в делителе - два. 

$3 - 2 = 1$

Запомним это число.

2. Справа в записи делителя допишем число нулей, определенное разницей между количеством знаков в делимом и делителе. В нашем случае нужно дописать один нуль. Если записанное число больше делимого, то нужно из запомненного в первом пункте числа вычесть единицу. 

В нашем примере справа от $47$ дописываем нуль. Так как $470 < 899$, запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число $1$ так и остается у нас в памяти.

3. Справа к цифре $1$ приписываем количество нулей, равное числу, определенному в предыдущем пункте. В нашем примере, приписывая к единице один нуль, получаем число $10$. В результате данного действия мы получили рабочую единицу разряда, с которым будем работать дальше.

4. Будем последовательно умножать делитель на  $1 , 2 , 3. .$ и т.д. единицы рабочего разряда, пока не получим число, которое больше или равно делимому. 

Рабочий разряд в нашем примере - десятки. После умножения делителя на одну единицу рабочего разряда, получаем $470$.

$470 < 899$, поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: $47 · 20 = 940 ; 940 > 899$.

Число, которое мы получили на предпоследнем шаге $\; ( \; 470 \; = \; 47 \; · \; 10 \; )$ является первым из искомых слагаемых.

5. Найдем разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то переходим к нахождению второго слагаемого. 

Шаги $1 - 5$ повторяем, однако в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если снова получаем число, большее, чем делитель, снова по-кругу повторяем пункты  $1 - 5$, но уже с новым числом в качестве делимого. Продолжаем, пока полученное здесь число не будет меньше делителя. Переходим к завершающему этапу. Забегая вперед, скажем, что последнее полученное число и будет равно остатку.

Обратимся к примеру. $899 - 470 = 429 , 429 > 47$. Повторяем шаги $1 - 5$ алгоритма с числом $429$, взятым в качестве делимого.

1. В записи числа $429$ на один знак больше, чем в записи числа $47$. Запоминаем разницу - число $1$.

2. В записи делимого справа дописываем один нуль. Получаем число $470$. Так как $470 > 429$, из запомненного в предыдущем пункте числа $1$ вычитаем $1$ и получаем $1 - 1 = 0$. Запоминаем $0$.

3. Так как в предыдущем пункте мы получили число $0$ и запомнили его, нам не нужно прибавлять ни одного нуля к единице справа. Таким образом, рабочим разрядом являются единицы

4. Последовательно умножим делитель $47$ на $1 , 2 , 3. .$ и т.д. Не будем приводить подробные выкладки, а обратим внимание на конечный результат: $47 · 9 = 423 < 429$, $47 · 10 = 470 > 429$. Таким образом, второе искомое слагаемое - $47 · 9 = 423$.

5. Разность между $429$ и $423$ равна числу $6$. Так как $6 < 47$, это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.

6. Целью предыдущих действий было представление делимого в виде суммы нескольких слагаемых. Для нашего примера мы получили $899 = 470 + 423 + 6$. Вспоминаем, что $470 = 47 · 10 , 423 = 47 · 9$. Перепишем равенство:

$899 = 47 · 10 + 47 · 9 + 6$

Применим распределительное свойство умножения.

$899 = 47 · 10 + 47 · 9 + 6 = 47 · \; ( \; 10 \; + \; 9 \; ) + 6$

$899 = 47 · 19 + 6$.

Таким образом, мы представили делимое в виде уже данной ранее формулы $a = b · c + d$.

Искомые неизвестные: неполное частное $с = 19$, остаток $d = 6$.

Безусловно, при решении практических примеров нет нужды расписывать все действия так подробно. Покажем это:

Деление натуральных чисел с остатком. Проверка результата

Деление натуральных чисел с остатком, особенно при больших числах, довольно трудоемкий и громоздкий процесс. Допустить ошибку в вычислениях может каждый. Именно поэтому, проверка результата деления поможет понять, все ли вы сделали правильно. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком выполняется в два этапа.

На первом этапе проверяем, не получился ли остаток больше делителя. Если нет, то все хорошо. Иначе, можно сделать вывод, что что-то пошло не так.

На втором этапе проверяется справедливость равенства $a = b · c + d$. Если равенство после подстановки значений оказывается верным, то и деление было выполнено без ошибок.