Деление одночлена на одночлен: примеры, правило

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Содержание:

Стандартные действия над одночленами - сложение, умножение, вычитание и деление. В данной статье мы рассмотрим, как делить одночлен на одночлен. Узнаем, всегда ли можно разделить одночлен на одночлен, приведем правило и покажем примеры.

Когда можно разделить одночлен на одночлен?

В самом общем случае результатом деления одночлена на одночлен является рациональная дробь. В редких случаях в результате получается еще один одночлен. Для того, чтобы в результате деления одночленов получился одночлен, нужно соблюдение нескольких условий. Перечислим их ниже, уточнив, что многочлены записаны в стандартном виде.

1. При делении одночлена на одночлен, который тождественно равен отличному от нуля числу, получается одночлен. К примеру, при делении одночлена  на , получается одночлен . Если этот же одночлен разделить на , мы получим одночлен .

2. Делимый одночлен и одночлен и одночлен-делитель в своих записях должны иметь множители со всеми общими переменными. При этом показатели степеней этих переменных в делимом должны быть не меньше, чем в делителе. Так, одночлен  можно разделить на одночлен , так как первый одночлен содержит в своей записи переменные  и , а их степени  и  не меньше, чем соответствующие степени  и  этих переменных в одночлене-делимом.

В остальных случаях результатом деления одночлена на одночлен является рациональная дробь. Отметим также, что деление на одночлен, тождественно равный нулю, в принципе невозможно. 

Деление одночлена на одночлен. Правило

Деление одночленов выполняется с учетом свойств умножения и деления двух чисел на число и наоборот. Сформулируем правило:

Правило деления одночлена на одночлен
  1. Одночлены нужно привести к стандартному виду, если они заданы в нестандартном виде.
  2. При делении одночлены заключаются в скобки, а между ними ставится знак деления.
  3. Одинаковые переменные (однородные члены) и числа группируются.
  4. Выполняется деление с использованием правила деления степеней с одинаковыми основаниями и чисел.

Выполнение всех этих шагов в результате дает частное деления двух одночленов - рациональную дробь или новый одночлен.

Отношение одночленов также можно изначально записать в виде рациональной дроби и сократить ее. В результате также будет получено искомое частное.

Примеры деления одночленов

Рассмотрим практические примеры с использованием приведенного правила.

Пример 1. Деление одночлена на одночлен

Выполним деление одночленов  и .

Решение

В соответствии с первым пунктом статьи убедимся, что в результате должен получится одночлен. Действительно, одночлен-делимое содержит переменную . Причем ее степень больше, чем степень той же переменной в одночлене-делителе.

Начнем деление по пунктам правила.

Первый шаг уже выполнен, так как одночлены записаны в стандартном виде. 

Запишем частное: .

Группируем числа: .

Воспользуемся свойствами деления степеней с одинаковыми основаниями и запишем ответ:

.

Теперь представим запись в виде рациональной дроби.

.

Для закрепления навыка рассмотрим еще пару примеров.

Пример 2. Деление одночлена на одночлен

Разделить  на .

Решение

Сначала приведем многочлены к стандартному виду:

;

.

Теперь запишем деление: .

Можно посчитать как в предыдущем примере, но удобнее сразу записать частное в виде дроби:

Сократим эту дробь и получим ответ:

.

Пример 3. Деление одночлена на одночлен

Вычислим: .

Решение

можно упростить следующим образом:

  • Разделим коэффициенты:  
  • Сократим дробь:   

Ответ:

.

Математические онлайн-калькуляторы

Навигация по статьям

Выполненные работы по математике
  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу