Положительные и отрицательные числа: определение, примеры

В этом материале мы объясним, что такое положительные и отрицательные числа. После того, как будут сформулированы определения, мы покажем на примерах, что это такое, и раскроем основной смысл этих понятий.

Что такое положительные и отрицательные числа

Для того чтобы объяснить основные определения, нам понадобится координатная прямая. Она будет расположена горизонтально и направлено слева направо: так будет удобнее для понимания.

Нуль, от которого выбираем направления, сам по себе не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.

Из данных выше определений следует, что положительные и отрицательные числа образуют некие множества, противоположные друг другу (положительные противопоставляются отрицательным, и наоборот). Ранее мы об этом уже упоминали в рамках статьи о противоположных числах.

После того, как мы ввели основные определения, мы можем без труда привести примеры. Так, к положительным относятся любые натуральные числа – $1, 9, 134 345$ и др. Положительные рациональные числа – это, например, $\frac{7}{9}, 76\frac{2}{3}$, $4,65$ и $0$,$\left(13\right)=0,126712$... и так далее. К положительным иррациональным числам относится число $\mathrm{\pi }$, число $e$, $\sqrt[5]{9}$, $809,030030003$… (это так называемая бесконечная непериодическая десятичная дробь).

Приведем примеры отрицательных чисел. Это $-\frac{2}{3}$ , $-16, -57,58 -3,\left(4\right)$. Иррациональные отрицательные числа – это, например, минус пи, минус e и др.

Можно ли сразу сказать, что значение числового выражения ${\log }_3 4-\sqrt{5}$ является отрицательным числом? Ответ неочевиден. Нам придется выразить это значение десятичной дробью и потом посмотреть (подробнее см. в материале о сравнении действительных чисел).

Для того чтобы уточнить, что число положительное, перед ним иногда ставят плюс, так же, как и перед отрицательным – минус, но чаще всего он опускается. Не забывайте, что $+5=5$, $+1\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}, +\sqrt{17}=\sqrt{17}$и так далее. По сути, это разные обозначения одного и того же числа.

В литературе также можно встретить определения положительных и отрицательных чисел, данные на основе наличия у них того или иного знака.

Есть также определения, основанные на положении данного числа относительно нуля (вспомним, что на правой стороне координатной прямой расположены большие числа, а на левой - меньшие).

Выходит, что нуль является своеобразным разделителем: он отделяет отрицательные числа от положительных.

Отдельно остановимся на том, как правильно читать записи положительных и отрицательных чисел, хотя, как правило, с этим не возникает особых проблем. Для отрицательных чисел мы всегда озвучиваем минус, т.е. $-1\frac{2}{5}$ – это «минус одна целая две пятых».

В случае положительных чисел мы озвучиваем плюс только тогда, когда он явно указан в записи, т.е. $+7$ – это «плюс семь». Названия математических знаков неправильно склонять по падежам. Например, верно будет прочесть фразу $a=-5$ как «$а$ равно минус пяти», а не «минусу пяти».

Основной смысл положительных и отрицательных чисел

Мы уже дали основные определения, но для того, чтобы делать верные подсчеты, необходимо понять сам смысл положительности или отрицательности числа. Попробуем помочь вам это сделать.

Положительные числа, то есть те, которые больше $0$, мы рассматриваем как прибыль, прибавку, увеличение количества чего-либо, а отрицательные – недостаток, убыток, расход, долг. Приведем примеры:

У нас есть $5$ любых предметов, например, яблок. Цифра $5$ – положительная, она указывает на то, что у нас что-то есть, мы обладаем некоторым количеством реально существующих предметов. А как тогда рассматривать $-5$? Оно может, например, значить, что мы должны отдать кому-то пять яблок, которых у нас в данное время нет.

Проще всего это понять на примере денег: если у нас есть $6,75$ тыс. рублей, то наш доход положительный: нам дали денег, и они у нас есть. В то же время в кассе эти расходы указываются как $-6,75$, то есть для них это убыток.

На градуснике рост температуры на $4,5$ значений можно описать как $+4,5$, а снижение, в свою очередь, как $-4,5$. В приборах, предназначенных для измерения, часто используются положительные и отрицательные числа, поскольку с помощью них удобно отображать изменения величин. Например, в термометре отрицательные числа указываются синим цветом – это падение, холод, уменьшение тепла; положительные же отмечены красным – это цвет огня, роста, увеличения тепла. Эти цвета очень часто используются для записи таких чисел, т.к. они очень наглядны – с их помощью всегда можно четко выделить приход и расход, прибыток и убыток.