Признак делимости на 4: примеры, доказательство

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на $4$ ». Приведем здесь формулировку признака, проведем его доказательство, рассмотрим основные примеры задач. В конце раздела мы собрали сведения о подходах, которые можно применять в тех случаях, когда нам нужно доказать делимость чисел на $4$ , заданных буквенным выражением.

Признак делимости на $4$ , примеры

Мы можем пойти простым путем и поделить однозначное натуральное число на $4$ для того, чтобы проверить, делится ли это число на $4$ без остатка. Так же можно поступить с двузначными, трехзначными и проч. числами. Однако, чем больше становятся числа, тем сложнее проводить с ними действия с целью проверки делимости их на $4$ .

Гораздо проще становится использовать признак делимости на $4$ . Он предполагает проведение проверки делимости одной или двух последних цифр целого числа на $4$ . Что это значит? Это значит, что некоторое число $a$ делится на $4$ в том случае, если одна или две крайние правые цифры в записи числа $a$ делятся на $4$ . Если число, составленное из двух крайних правых цифр в записи числа $a$ не делятся на $4$ без остатка, то и число $a$ не делится на $4$ без остатка.

Пример 1

Какие из чисел $98 028, 7 612$ и $999 888 777$ делятся на $4$ ?

Решение

Крайние правые цифры чисел − $98 028, 7 612$ составляют числа $28$ и $12$ , которые делятся на $4$ без остатка. Это значит, что и целые числа − $98 028, 7 612$ делятся на $4$ без остатка.

Последние две цифры в записи числа $999 888 777$ образуют число $77$ , которое не делится на $4$ без остатка. Это значит, что и исходное число на $4$ без остатка не делится.

Ответ: $- 98 028$ и $7 612$ .

Если предпоследней цифрой в записи числа является $0$ , то нам необходимо этот ноль отбросить и смотреть на оставшуюся крайнюю правую цифру в записи. Получается, что две цифры $01$ мы заменяем $1$ . И уже по одной оставшейся цифре мы делаем вывод о том, делится ли исходное число на $4$ .

Пример 2

Делится ли числа $75 003$ и $- 88 108$ на $4$ ?

Решение

Две последние цифры числа $75 003$ - видим $03$ . Если отбросить ноль, то у нас остается цифра $3$ , которая на $4$ без остатка не делится. Это значит, что исходное число $75 003$ на $4$ без остатка не делится.

Теперь возьмем две последние цифры числа $- 88 108$ . Это $08$ , из которых мы должны оставить лишь последнюю цифру $8$ . $8$ делится на $4$ без остатка.

Это значит, что и исходное число $- 88 108$ мы можем поделить на $4$ без остатка.

Ответ: $75 003$ не делится на $4$ , а $- 88 108$ – делится.

Числа, у которых в конце записи идет сразу два нуля, также делятся на $4$ без остатка. Например, $100$ делится на $4$ , получается $25$ . Доказать правдивость этого утверждения нам позволяет правило умножения числа на $100$ .

Представим произвольно выбранное многозначное число $a$ , запись которого справа заканчивается двумя нулями, как произведение $a_{1} \cdot 100$ , где число $a_{1}$ получается из числа $a$ , если в его записи справа отбросить два нуля. Например, $486700 = 4867 \cdot 100$ .

Произведение $a_{1} \cdot 100$ содержит множитель $100$ , который делится на $4$ . Это значит, что все приведенное произведение делится на $4$ .

Доказательство признака делимости на $4$

Представим любое натуральное число $a$ в виде равенства $a = a_{1} \cdot 100 + a_{0}$ , в котором число $a_{1}$ – это число $a$ , из записи которого убрали две последние цифры, а число $a_{0}$ – это две крайние правые цифры из записи числа $a$ . Если использовать конкретные натуральные числа, то равенство будет иметь вид undefined. Для одно- и двузначных чисел $a = a_{0}$ .

Определение 1

Теперь обратимся к свойствам делимости:

деление модуля числа $a$ на модуль числа $b$ необходимо и достаточно для того, чтобы целое число $a$ делилось на целое число $b$ ;
если в равенстве $a = s + t$ все члены, кроме одного делятся на некоторое целое число $b$ , то и этот оставшийся член делится на число $b$ .

Теперь, освежив в памяти необходимые свойства делимости, переформулируем доказательство признака делимости на $4$ в виде необходимого и достаточного условия делимости на $4$ .

Теорема 1

Деление двух последних цифр в записи числа $a$ на $4$ – это необходимое и достаточное условие для делимости целого числа $a$ на $4$ .

Доказательство 1

Если предположить, что $a = 0$ , то теорема в доказательстве не нуждается. Для всех остальных целых чисел $a$ мы будем использовать модуль числа $a$ , который является числом положительным: $|a| = a_{1} \cdot 100 + a_{0}$

С учетом того, что произведение $a_{1} \cdot 100$ всегда делится на $4$ , а также с учетом свойств делимости, которые мы привели выше, мы можем сделать следующее утверждение: если число $a$ делится на $4$ , то и модуль числа $a$ делится на $4$ , тогда из равенства $|a| = a_{1} \cdot 100 + a_{0}$ следует, что $a_{0}$ делится на $4$ . Так мы доказали необходимость.

Из равенства $|a| = a_{1} \cdot 100 + a_{0}$ следует, что модуль $a$ делится на $4$ . Это значит, что и само число $a$ делится на $4$ . Так мы доказали достаточность.

Другие случаи делимости на $4$

Рассмотрим случаи, когда нам нужно установить делимость на $4$ целого числа, заданного некоторым выражением, значение которого надо вычислить. Для этого мы можем пойти следующим путем:

представить исходное выражение в виде произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на $4$ ;
сделать вывод на основании свойства делимости о том, что все исходное выражение делится на
$4$ .

Помочь в решении задачи часто помогает формула бинома Ньютона.

Пример 3

Делится ли на $4$ значение выражения $9^{n} - 12 n + 7$ при некотором натуральном $n$ ?

Решение

Мы можем представить $9$ в виде суммы $8 + 1$ . Это дает нам возможность применить формулу бинома Ньютона:

$9^{n} - 12 n + 7 = {(8 + 1)}^{n} - 12 n + 7 = = (C_{n}^{0} \cdot 8^{n} + C_{n}^{1} \cdot 8^{n - 1} \cdot 1 + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 8^{2} \cdot 1^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} \cdot 8 \cdot 1^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot 1^{n}) - - 12 n + 7 = = (8^{n} + C_{n}^{1} \cdot 8^{n - 1} \cdot 1 + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 8^{2} + n \cdot 8 + 1) - - 12 n + 7 = = 8^{n} + C_{n}^{1} \cdot 8^{n - 1} \cdot 1 + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 8^{2} - 4 n + 8 = = 4 \cdot (2 \cdot 8^{n - 1} + 2 \cdot C_{n}^{1} \cdot 8^{n - 2} + . . . + 2 \cdot C_{n}^{n - 2} \cdot 8^{1} - n + 2)$

Произведение, которое мы получили в ходе преобразований, содержит множитель $4$ , а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Это значит, что это произведение можно разделить на $4$ без остатка.

Мы можем утверждать, что исходное выражение $9^{n} - 12 n + 7$ делится на $4$ при любом натуральном $n$ .

Ответ: Да.

Также мы можем применить к решению задачи метод математической индукции. Чтобы не отвлекать ваше внимание на второстепенные детали разбора решения, возьмем прежний пример.

Пример 4

Докажите, что $9^{n} - 12 n + 7$ делится на $4$ при любом натуральном $n$ .

Решение

Начнем с установления того, что при значении $n = 1$ значение выражения $9^{n} - 12 n + 7$
можно будет разделить на $4$ без остатка.

Получаем: $9^{1} - 12 \cdot 1 + 7 = 4$ . $4$ делится на $4$ без остатка.

Теперь мы можем предположить, что при значении $n = k$ значение выражения
$9^{n} - 12 n + 7$ будет делиться на $4$ . Фактически, мы будем работать с выражением $9^{k} - 12 k + 7$ , которое должно делиться на $4$ .

Нам необходимо доказать, что $9^{n} - 12 n + 7$ при $n = k + 1$ будет делиться на $4$ с учетом того, что $9^{k} - 12 k + 7$ делится на $4$ :

$9^{k + 1} - 12 (k + 1) + 7 = 9 \cdot 9^{k} - 12 k - 5 = 9 \cdot (9^{k} - 12 k + 7) + 96 k - 68 = = 9 \cdot (9^{k} - 12 k + 7) + 4 \cdot (24 k - 17)$

Мы получили сумму, в которой первое слагаемое $9 \cdot (9^{k} - 12 k + 7)$ делится на $4$ в связи с нашим предположением о том, что $9^{k} - 12 k + 7$ делится на $4$ , а второе слагаемое $4 \cdot (24 k - 17)$ содержит множитель $4$ , в связи с чем также делится на $4$ . Это значит, что вся сумма делится на $4$ .

Ответ: мы доказали, что $9^{n} - 12 n + 7$ делится на $4$ при любом натуральном значении $n$ методом математической индукции.

Мы можем использовать еще один подход для того, чтобы доказать делимость некоторого выражения на $4$ . Этот подход предполагает:

доказательство факта того, что значение данного выражения с переменной $n$ делится на $4$ при $n = 4 \cdot m, n = 4 \cdot m + 1, n = 4 \cdot m + 2$ и $n = 4 \cdot m + 3$ , где $m$ – целое число;
вывод о доказанности делимости данного выражения на $4$ для любого целого числа $n$ .

Пример 5

Докажите, что значение выражения $n \cdot (n^{2} + 1) \cdot (n + 3) \cdot (n^{2} + 4)$ при любом целом $n$ делится на $4$ .

Решение

Если предположить, что $n = 4 \cdot m$ , получаем:

$4 m \cdot ({(4 m)}^{2} + 1) \cdot (4 m + 3) \cdot ({(4 m)}^{2} + 4) = 4 m \cdot (16 m^{2} + 1) \cdot (4 m + 3) \cdot 4 \cdot (4 m^{2} + 1)$

Полученное произведение содержит множитель $4$ , все остальные множители представлены целыми числами. Это дает нам основание предполагать, что все произведение делится на $4$ .

Если предположить, что $n = 4 \cdot m + 1$ , получаем:

$(4 m + 1) \cdot ({(4 m + 1)}^{2} + 1) \cdot (4 m + 1 + 3) \cdot ({(4 m + 1)}^{2} + 4) = = (4 m \cdot 1) + ({(4 m + 1)}^{2} + 1) \cdot 4 (m + 1) \cdot ({(4 m + 1)}^{2} + 4)$

И опять в произведении, которое мы получили в ходе преобразований,
содержится множитель $4$ .

Это значит, что выражение делится на $4$ .

Если предположить, что $n = 4 \cdot m + 2$ , то:

$(4 m + 2) \cdot ({(4 m + 2)}^{2} + 1) \cdot (4 m + 2 + 3) \cdot ({(4 m + 2)}^{2} + 4) = = 2 \cdot (2 m + 1) \cdot (16 m^{2} + 16 m + 5) \cdot (4 m + 5) \cdot 8 \cdot (2 m^{2} + 2 m + 1)$

Здесь в произведении мы получили множитель $8$ , который можно без остатка поделить на $4$ . Это значит, что все произведение делится на $4$ .

Если предположить, что $n = 4 \cdot m + 3$ , получаем:

$(4 m + 3) \cdot ({(4 m + 3)}^{2} + 1) \cdot (4 m + 3 + 3) \cdot ({(4 m + 3)}^{2} + 4) = = (4 m + 3) \cdot 2 \cdot (8 m^{2} + 12 m + 5) \cdot 2 \cdot (2 m + 3) \cdot (16 m^{2} + 24 m + 13) = = 4 \cdot (4 m + 3) \cdot (8 m^{2} + 12 m + 5) \cdot (16 m^{2} + 24 m + 13)$

Произведение содержит множитель $4$ , значит делится на $4$ без остатка.

Ответ: мы доказали, что исходное выражение делится на $4$ при любом $n$ .

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.

Признак делимости на 4, примеры

Доказательство признака делимости на 4

Другие случаи делимости на 4

Признак делимости на $4$ , примеры

Доказательство признака делимости на $4$

Другие случаи делимости на $4$