Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными: определения, примеры

В математике принято использовать свои обозначения. Запись условий задач с их помощью приводит к появлению так называемых математических выражений. Можно говорить про числовые, буквенные  выражения и математические выражения с переменными. Для удобства и одни, и вторые и третьи называются просто выражениями. В этой статье мы дадим определения и по порядку рассмотрим каждый тип математических выражений.

Числовые выражения

С самый первых уроков математики школьники начинают знакомство с числовыми выражениями. Выражение содержит числа, и действия над этими числами. Возьмем простейшие примеры для счета: $5+2; 3-8; 1+1$. Все это - числовые выражения. Если выполнить действия, указанные в выражении, то получится его значение.

Конечно, числовые выражения содержат не только знаки "плюс" и "минус". Они могут включать деление и умножение, содержать скобки, степени, корни, логарифмы и состоять из нескольких действий.

Учитывая все сказанное, дадим определение. Что такое числовое выражение?

Поясним данное определение.

Во-первых, числа. Математическое выражение может содержать любые числа. Это значит, что в математическом выражении можно встретить:

• натуральные числа: $6, 173, 9$,
• целые числа: $18, 0, 64$,
• рациональные числа:
  обыкновенные дроби $\frac{1}{3}, \frac{3}{4}$,
  смешанные числа $6\frac{1}{8}, 89\frac{5}{7}$,
  периодические и непериодические десятичные дроби $9,78, 8,\left(556\right)$
• иррациональные числа: $\pi , e$, 
• комплексные числа: $i=\sqrt{-1}$.

Во-вторых, арифметические действия. то известные нам еще из курса начальной школы сложение, умножение, вычитание и деление. Знаки $"+"$, $"-"$, $"·"$ и $"÷"$ могут присутствовать в выражении не один раз. Вот пример такого числового выражения: $12+4-3+3÷1·8·6÷2$.

деление в выражениях может присутствовать как в виде знака, так и в виде дробной черты. 

Скобки в числовых выражениях

• указывают порядок выполнения действий: $5-\left(2,5+5*0,25\right)$;
• используются для записи отрицательных чисел: $5+(-2)$;
• отделяют аргумент функции: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)$;
• отделяют показатель степени: ${\left(2-1,3\right)}^2$

Есть и специальные значения для записи скобок. Например, запись $\left[1,75\right]+2$ означает, что к целой части числа $\left[1,75\right]$прибавляется число $2$. 

Согласно определению,  числовые выражения могут содержать степени, корни, логарифмы, тригонометрические и обратные тригонометрическим функции. Приведем пример такого числового выражения: 

В качестве примера использования в числовых выражениях специальных знаков, можно привести знак модуля. 

$\left|\left(-2\frac{2}{5}\right)·6+\left|-5-8\right|·2\right|$

Буквенные выражения

После знакомства с числовыми выражениями можно вводить понятие буквенных выражений. Интуитивно понятно, что в них вместо чисел используются буквы. Но обо всем по порядку. 

Запишем числовое выражение, но вместо одного числа оставим пустой квадратик.

$3+\square$

В квадратик мы можем вписать любое число. Например, $2$, или $1032$.

$3+2; 3+1032$.

Если условится записывать вместо числа в квадратике букву $a$, означающую данное число, то мы получим буквенное выражение:

$3+a$

Принципиальная разница числового и буквенного выражений в том, что первое не может содержать букв. В буквенных выражениях чаще всего используются маленькие буквы латинского алфавита $a, b, c..$ или маленькие греческие буквы $\alpha , \beta , \gamma ..$ и т.д.

Приведем пример сложного буквенного выражения.

$\frac{\left(\sqrt{x^3+2}-4\right)·\left(x^5+4xy+8y^2\right)}{{\displaystyle \frac{3}{8}-\frac{4x^2·arc\cos \alpha +1}{3x^2}}}+2y-1$

Выражения с переменными

В рассмотренных выше буквенных выражениях буква обозначала какое-то конкретное числовое значение. Величина, которая может принимать ряд различных значений, называется переменной. Выражение с такой величиной, соответственно, называются выражением с переменной.

Пусть переменная $x$  принимает натуральные значения из интервала от $0$ до $10$. Тогда выражения $x^2-1$ есть выражение с переменной, а $x$ - переменная в этом выражении.

В выражении может быть не одна, а несколько переменных. Например, при переменных $x$ и $y$выражение $x^3·y+\frac{y^2}{2}-1$ представляет собой выражение с двумя переменными.

Вообще буквенные выражения и выражения с переменными позволяют посмотреть на задачу вне контекста конкретных чисел, то есть более широко. Они широко используются в математическом анализе для формулировок и доказательств.

Внешний вид буквенного выражения не позволяет узнать, являются входящие в него буквы переменными, или нет. Для этого нужно знать условия конкретной задачи, описываемой выражением. Вне контекста ничто не мешает считать входящие в выражение буквы переменными. Таким образом, разница между понятиями "буквенное выражение" и "выражение с переменными" нивелируется.