- 13 мая 2023
- 4 минуты
- 3 190
Производная параметрически заданной функции
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид . Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар ,которые необходимо вычислять для параметра по промежутку . Для решения системы с необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным .
Определение параметрической функции
Отсюда имеем, что определены на при значении и имеют обратную функцию для , тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида .
Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по . Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида , поговорим о производной и -ого порядка.
Вывод формулы производной параметрически заданной функции
Имеем, что , определенные и дифферецируемые при значении , где и , тогда существует обратная функция вида .
Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида , где имеется аргумент .
Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что .
Отсюда видно, что и являются обратными функциями из формулы обратной функции , тогда .
Перейдем к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.
Найти производную для функции .
Решение
По условию имеем, что , отсюда получаем, что . Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:
Ответ: .
При работе с производной функции ч параметром указывается выражение аргумента через этот же параметр , чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.
Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка на полученной функции, тогда получаем, что
.
Найти производные и порядка заданной функции .
Решение
По условию получаем, что .
Тогда после преобразования
Отсюда следует, что .
Получим, что вид производной порядка .
Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида
Тогда задание производной порядка с помощью параметрической функции
Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда
Отсюда получаем, что
Ответ:
Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.
Математические онлайн-калькуляторы