Производная параметрически заданной функции

$x = φ (t), y = ψ (t), t \in (a; b)$
${y_{x}}^{'} = \frac{ψ^{'} (t)}{φ^{'} (t)}$	${y_{x}}^{''} = \frac{ψ^{''} (t) \cdot φ^{'} (t) - ψ^{'} (t) \cdot φ^{''} (t)}{{(φ^{'} (t))}^{3}}$

Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид $y = f (x)$ . Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар $(х; у)$ ,которые необходимо вычислять для параметра $t$ по промежутку $(а; b)$ . Для решения системы $\{\begin{cases} x = 3 \cdot \cos t \\ y = 3 \cdot \sin t \end{cases}$ с $0 \leq t < 2 π$ необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным $3$ .

Определение параметрической функции

Отсюда имеем, что $x = φ (t), y = ψ (t)$ определены на при значении $t \in (a; b)$ и имеют обратную функцию $t = Θ (x)$ для $x = φ (t)$ , тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида $y = ψ (Θ (x))$ .

Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по $х$ . Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида ${y_{x}}^{'} = \frac{ψ^{'} (t)}{φ^{'} (t)}$ , поговорим о производной $2$ и $n$ -ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции

Имеем, что $x = φ (t), y = ψ (t)$ , определенные и дифферецируемые при значении $t \in (a; b)$ , где ${x_{t}}^{'} = φ^{'} (t) \neq 0$ и $x = φ (t)$ , тогда существует обратная функция вида $t = Θ (x)$ .

Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида $y = ψ (t) = ψ (Θ (x))$ , где имеется аргумент $x$ .

Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что ${y^{'}}_{x} = (ψ (Θ (x))) = ψ^{'} (Θ (x)) \cdot Θ' (x)$ .

Отсюда видно, что $t = Θ (x)$ и $x = φ (t)$ являются обратными функциями из формулы обратной функции $Θ' (x) = \frac{1}{φ' (t)}$ , тогда ${y^{'}}_{x} = ψ' (Θ (x)) \cdot Θ^{'} (x) = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)}$ .

Перейдем к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.

Пример 1

Найти производную для функции $\{\begin{cases} x = t^{2} + 1 \\ y = t \end{cases}$ .

Решение

По условию имеем, что $φ (t) = t^{2} + 1, ψ (t) = t$ , отсюда получаем, что $φ' (t) = (t^{2} + 1)', ψ' (t) = t' = 1$ . Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:

${y^{'}}_{x} = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)} = \frac{1}{2 t}$

Ответ: $\{\begin{cases} y_{x}' = \frac{1}{2 t} \\ x = t^{2} + 1 \end{cases}$ .

При работе с производной функции ч параметром $t$ указывается выражение аргумента $x$ через этот же параметр $t$ , чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.

Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка на полученной функции, тогда получаем, что

${y^{''}}_{x} = \frac{{(\frac{ψ' (t)}{φ' (t)})}^{'}}{φ' (t)} = \frac{\frac{ψ'' (t) \cdot φ' (t) - ψ' (t) \cdot φ'' (t)}{{(φ' (t))}^{2}}}{φ' (t)} = \frac{ψ'' (t) \cdot φ' (t) - ψ' (t) \cdot φ'' (t)}{{(φ' (t))}^{3}}$ .

Пример 2

Найти производные $2$ и $2$ порядка заданной функции $\{\begin{cases} x = \cos (2 t) \\ y = t^{2} \end{cases}$ .

Решение

По условию получаем, что $φ (t) = \cos (2 t), ψ (t) = t^{2}$ .

Тогда после преобразования

$φ' (t) = (\cos (2 t))' = - \sin (2 t) \cdot (2 t)' = - 2 \sin (2 t) ψ (t) = {(t^{2})}^{'} = 2 t$

Отсюда следует, что ${y_{x}}^{'} = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)} = \frac{2 t}{- 2 \sin (2 t)} = - \frac{t}{\sin (2 t)}$ .

Получим, что вид производной $1$ порядка $\{\begin{cases} x = \cos (2 t) \\ y_{x}' = - \frac{t}{\sin (2 t)} \end{cases}$ .

Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида

$y_{x}'' = \frac{(- \frac{t}{\sin (2 t)})}{φ' t} = \frac{- \frac{t' \cdot \sin (2 t) - t \cdot (\sin (2 t))'}{\sin^{2} (2 t)}}{- 2 \sin (2 t)} = = \frac{1 \cdot \sin (2 t) - t \cdot \cos (2 t) \cdot (2 t)'}{2 \sin^{3} (2 t)} = \frac{\sin (2 t) - 2 t \cos (2 t)}{2 \sin^{3} (2 t)}$

Тогда задание производной $2$ порядка с помощью параметрической функции

$\{\begin{cases} x = \cos (2 t) \\ {y_{x}}^{''} = \frac{\sin (2 t) - 2 t \cos (2 t)}{2 \sin^{3} (2 t)} \end{cases}$

Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда

$φ' (t) = (\cos (2 t))' = - \sin (2 t) \cdot {(2 t)}^{'} = - 2 \sin (2 t) \Rightarrow φ'' (t) = (- 2 \sin (2 t))' = - 2 \cdot (\sin (2 t))' = - 2 \cos (2 t) \cdot (2 t)' = - 4 \cos (2 t) ψ' (t) = (t^{2})^{'} = 2 t \Rightarrow ψ'' (t) = (2 t)^{'} = 2$

Отсюда получаем, что

${y^{''}}_{x} = \frac{ψ'' (t) \cdot φ' (t) - ψ' (t) \cdot φ'' (t)}{{(φ' (t))}^{3}} = \frac{2 \cdot (- 2 \sin (2 t)) - 2 t \cdot (- 4 \cos (2 t))}{{(- 2 \sin (2 t))}^{3}} = = \frac{\sin (2 t) - 2 t \cdot \cos (2 t)}{2 s i n^{3} (2 t)}$

Ответ: ${y^{''}}_{x} = \frac{\sin (2 t) - 2 t \cdot \cos (2 t)}{2 s i n^{3} (2 t)}$

Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.