Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки $" + "$ , $" \cdot "$ , $" - "$ , $" \div "$ , то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения $14 - 2 \cdot 15 \div 6 - 3$ .

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

$14 - 2 \cdot 15 \div 6 - 3 = 14 - 30 \div 6 - 3 = 14 - 5 - 3$ .

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

$14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6$ .

Пример 2. Значение числового выражения

Вычислим: $0, 5 - 2 \cdot (- 7) + \frac{2}{3} \div 2 \frac{3}{4} \cdot \frac{11}{12}$ .

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

$0, 5 - 2 \cdot (- 7) + \frac{2}{3} \div 2 \frac{3}{4} \cdot \frac{11}{12} = \frac{1}{2} - (- 14) + \frac{2}{3} \div \frac{11}{4} \cdot \frac{11}{12}$

$\frac{1}{2} - (- 14) + \frac{2}{3} \div \frac{11}{4} \cdot \frac{11}{12} = \frac{1}{2} - (- 14) + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{11} \cdot \frac{11}{12} = \frac{1}{2} - (- 14) + \frac{2}{9}$ .

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

$\frac{1}{2} - (- 14) + \frac{2}{9} = \frac{1}{2} + 14 + \frac{2}{9} = 14 + \frac{13}{18} = 14 \frac{13}{18}$ .

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения $0, 5 \cdot (0, 76 - 0, 06)$ .

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом - умножение.

$0, 5 \cdot (0, 76 - 0, 06) = 0, 5 \cdot 0, 7 = 0, 35$ .

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение $1 + 2 \cdot (1 + 2 \cdot (1 + 2 \cdot (1 - \frac{1}{4})))$ .

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

$1 + 2 \cdot (1 + 2 \cdot (1 + 2 \cdot (1 - \frac{1}{4}))) = 1 + 2 \cdot (1 + 2 \cdot (1 + 2 \cdot \frac{3}{4}))$

$1 + 2 \cdot (1 + 2 \cdot (1 + 2 \cdot \frac{3}{4})) = 1 + 2 \cdot (1 + 2 \cdot 2, 5) = 1 + 2 \cdot 6 = 13$ .

В нахождении значений выражений со скобками главное - соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями $\sqrt[3]{- 2 \cdot 3 - 1 + 60 \div 4} + 3 \cdot \sqrt{2, 2 + 0, 1 \cdot 0, 5}$ .

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

$\sqrt[3]{- 2 \cdot 3 - 1 + 60 \div 4} = \sqrt[3]{- 6 - 1 + 15} = \sqrt[3]{8} = 2$

$\sqrt{2, 2 + 0, 1 \cdot 0, 5} = \sqrt{2, 2 + 0, 05} = \sqrt{2, 25} = 1, 5$ .

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

$\sqrt[3]{- 2 \cdot 3 - 1 + 60 \div 4} + 3 \cdot \sqrt{2, 2 + 0, 1 \cdot 0, 5} = 2 + 3 \cdot 1, 5 = 6, 5$

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) - 1$

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

$(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 3 - 1$ .

Таким образом:

$(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) - 1 = 3 - 1 - 1 = 1$ .

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения $2^{3 \cdot 4 - 10} + 16 {(1 - \frac{1}{2})}^{3, 5 - 2 \cdot \frac{1}{4}}$ .

Начинаем вычислять по порядку.

$2^{3 \cdot 4 - 10} = 2^{12 - 10} = 2^{2} = 4$

$16 \cdot {(1 - \frac{1}{2})}^{3, 5 - 2 \cdot \frac{1}{4}} = 16 * 0, 5^{3} = 16 \cdot \frac{1}{8} = 2$ .

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

$2^{3 \cdot 4 - 10} + 16 {(1 - \frac{1}{2})}^{3, 5 - 2 \cdot \frac{1}{4}} = 4 + 2 = 6$ .

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: $2^{- 2 \sqrt{5}} \cdot 4^{\sqrt{5} - 1} + {({(\sqrt{3})}^{\frac{1}{3}})}^{6}$ .

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

$2^{- 2 \sqrt{5}} \cdot 4^{\sqrt{5} - 1} + {({(\sqrt{3})}^{\frac{1}{3}})}^{6} = 2^{- 2 \sqrt{5}} \cdot {(2^{2})}^{\sqrt{5} - 1} + {(\sqrt{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 6}$

$2^{- 2 \sqrt{5}} \cdot {(2^{2})}^{\sqrt{5} - 1} + {(\sqrt{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 6} = 2^{- 2 \sqrt{5}} \cdot 2^{2 \cdot \sqrt{5} - 2} + {\sqrt{3}}^{2} = 2^{2 \cdot \sqrt{5} - 2 - 2 \sqrt{5}} + {\sqrt{3}}^{2}$

$2^{2 \cdot \sqrt{5} - 2 - 2 \sqrt{5}} + {\sqrt{3}}^{2} = 2^{- 2} + 3 = \frac{1}{4} + 3 = 3 \frac{1}{4}$

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: $\frac{3, 2}{2} - 3 \cdot \frac{7 - 2 \cdot 3}{6} \div \frac{1 + 2 + 3}{9 - 6 \div 2}$ .

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

$\frac{3, 2}{2} = 3, 2 \div 2 = 1, 6$

$\frac{7 - 2 \cdot 3}{6} = \frac{7 - 6}{6} = \frac{1}{6}$

$\frac{1 + 2 + 3}{9 - 6 \div 2} = \frac{1 + 2 + 3}{9 - 3} = \frac{6}{6} = 1$ .

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

$1, 6 - 3 \cdot \frac{1}{6} \div 1 = 1, 6 - 0, 5 \div 1 = 1, 1$

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение $\frac{2}{\sqrt{5} - 1} - \frac{2 \sqrt{5} - 7}{4} - 3$ .

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

$\frac{2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2 (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)} = \frac{2 (\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{2 \sqrt{5} + 2}{4}$

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{2}{\sqrt{5} - 1} - \frac{2 \sqrt{5} - 7}{4} - 3 = \frac{2 \sqrt{5} + 2}{4} - \frac{2 \sqrt{5} - 7}{4} - 3$ .

Вычислим значение этого выражения:

$\frac{2 \sqrt{5} + 2}{4} - \frac{2 \sqrt{5} - 7}{4} - 3 = \frac{2 \sqrt{5} + 2 - 2 \sqrt{5} + 7}{4} - 3 = \frac{9}{4} - 3 = - \frac{3}{4}$ .

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении $\log_{2} 4 + 2 \cdot 4$ можно сразу вместо $\log_{2} 4$ записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: $\log_{2} 4 + 2 \cdot 4 = 2 + 2 \cdot 4 = 2 + 8 = 10$ .

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение $\log_{5 - 6 \div 3} (5^{2} + 2) + 7$ . Имеем:

$\log_{5 - 6 \div 3} (5^{2} + 2) + 7 = \log_{3} 27 + 7 = 3 + 7 = 10$ .

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения $\log_{2} (\log_{2} 256) + \log_{6} 2 + \log_{6} 3 + \frac{\log_{5} 729}{\log_{0, 2} 27}$ .

$\log_{2} (\log_{2} 256) = \log_{2} (8) = 3$ .

По свойству логарифмов:

$\log_{6} 2 + \log_{6} 3 = \log_{6} (2 \cdot 3) = \log_{6} 6 = 1$ .

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

$\frac{\log_{5} 729}{\log_{0, 2} 27} = \frac{\log_{5} 729}{\log_{\frac{1}{5}} 27} = \frac{\log_{5} 729}{- \log_{5} 27} = - \log_{27} 729 = - \log_{27} 27^{2} = - 2$ .

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

$\log_{2} (\log_{2} 256) + \log_{6} 2 + \log_{6} 3 + \frac{\log_{5} 729}{\log_{0, 2} 27} = 3 + 1 + (- 2) = 2$ .

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: $t g^{2} \frac{4 π}{3} - \sin (- \frac{5 π}{2}) + cosπ$ .

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

$t g \frac{4 π}{3} = \sqrt{3}$

$\sin (- \frac{5 π}{2}) = - 1$

$cosπ = - 1$ .

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

$t g^{2} \frac{4 π}{3} - \sin (- \frac{5 π}{2}) + cosπ = {\sqrt{3}}^{2} - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3$ .

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения $\frac{\cos^{2} \frac{π}{8} - \sin^{2} \frac{π}{8}}{\cos \frac{5 π}{36} \cos \frac{π}{9} - \sin \frac{5 π}{36} \sin \frac{π}{9}} - 1$ .

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

$\frac{\cos^{2} \frac{π}{8} - \sin^{2} \frac{π}{8}}{\cos \frac{5 π}{36} \cos \frac{π}{9} - \sin \frac{5 π}{36} \sin \frac{π}{9}} - 1 = \frac{\cos (\frac{2 π}{8})}{\cos (\frac{5 π}{36} + \frac{π}{9})} - 1 = \frac{\cos \frac{π}{4}}{\cos \frac{π}{4}} - 1 = 1 - 1 = 0$ .

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
Выполняются действия в скобках.
Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала - умножение и деление, затем - сложение и вычитание.

Разберем пример.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения $- \frac{\sqrt{2 \cdot \sin (\frac{π}{6} + 2 \cdot (\frac{2 π}{5} + \frac{3 π}{5})) + 3}}{\ln e^{2}} + (1 + 3^{\sqrt{9}})$ .

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения $2 \cdot \sin (\frac{π}{6} + 2 \cdot (\frac{2 π}{5} + \frac{3 π}{5})) + 3$ . Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.

$\frac{π}{6} + 2 \cdot (\frac{2 π}{5} + \frac{3 π}{5}) = \frac{π}{6} + 2 \cdot (\frac{2 π + 3 π}{5}) = \frac{π}{6} + 2 \cdot (\frac{5 π}{5}) = \frac{π}{6} + 2 π$

Теперь можно узнать значение синуса:

$\sin (\frac{π}{6} + 2 \cdot (\frac{2 π}{5} + \frac{3 π}{5})) = \sin (\frac{π}{6} + 2 π) = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ .

Вычисляем значение подкоренного выражения:

$2 \cdot \sin (\frac{π}{6} + 2 \cdot (\frac{2 π}{5} + \frac{3 π}{5})) + 3 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 = 4$

Отсюда:

$\sqrt{2 \cdot \sin (\frac{π}{6} + 2 \cdot (\frac{2 π}{5} + \frac{3 π}{5})) + 3} = \sqrt{4} = 2$ .

Со знаменателем дроби все проще:

$\ln e^{2} = 2$ .

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

$\frac{\sqrt{2 \cdot \sin (\frac{π}{6} + 2 \cdot (\frac{2 π}{5} + \frac{3 π}{5})) + 3}}{\ln e^{2}} = \frac{2}{2} = 1$ .

С учетом этого, запишем все выражение:

$- 1 + (1 + 3^{\sqrt{9}}) = - 1 + 1 + 3^{3} = - 1 + 1 + 27 = 27$ .

Окончательный результат:

$- \frac{\sqrt{2 \cdot \sin (\frac{π}{6} + 2 \cdot (\frac{2 π}{5} + \frac{3 π}{5})) + 3}}{\ln e^{2}} + (1 + 3^{\sqrt{9}}) = 27$ .

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение $2 \cdot (386 + 5 + \frac{589}{4}) (1 - \sin (\frac{3 π}{4})) \cdot 0$ равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения $(\frac{56 + 8 - 3, 789}{\ln e^{2}}) - (\frac{56 + 8 - 3, 789}{\ln e^{2}})$ также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс - использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями - сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.

Например, возьмем выражение $\frac{(2 \sqrt{3} - 1) (5 + 3 \cdot 289 \cdot \frac{3}{4})}{3 \cdot (2 \sqrt{3} - 1) (5 + 3 \cdot 289 \cdot \frac{3}{4})}$ . Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно $\frac{1}{3}$ .

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Пример 15. Значение выражения с переменными

Вычислить значение выражения $0, 5 x - y$ при заданных $x = 2, 4$ и $y = 5$ .

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

$0, 5 x - y = 0, 5 \cdot 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8$ .

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение $х + 3 - х$ , очевидно, имеет значение $3$ , и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.

Еще один пример. Значение выражения $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ равно единице для всех положительных иксов.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.