Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим уравнение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$. В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции $U(x, y) = 0$. Для этого должно выполняться условие $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$.

Полный дифференциал функции $U(x, y) = 0$ имеет вид $dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy$. С учетом условия $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$ получаем:

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy$

Откуда: 

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial U}{\partial x}=P(x,y)\\ \frac{\partial U}{\partial y}=Q(x,y)\end{array}\right.$

Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:

$U(x,y)=\int P(x,y)dx+\phi \left(y\right)$

Функцию $\phi \left(y\right)$ мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
$$\begin{gathered} \frac{\partial U(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial \left(\int P(x,y)dx\right)}{\partial y}+{\phi }_y^{\text{'}}\left(y\right)=Q(x,y)\Rightarrow \\ \phi \left(y\right)=\int \left(Q(x,y)-\frac{\partial \left(\int P(x,y)dx\right)}{\partial y}\right)dy \end{gathered}$$

Так мы нашли искомую функцию $U(x, y) = 0$.

Найдите для ДУ $(x^2-y^2)dx-2xydy=0$ общее решение.

Решение

$P(x,y)=x^2-y^2, Q(x,y)=-2xy$

Проверим, выполняется ли условие  $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$:

$$\begin{gathered} \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (x^2-y^2)}{\partial y}=-2y \\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (-2xy)}{\partial x}=-2y \end{gathered}$$

Наше условие выполняется.

На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции $U(x, y) = 0$. Нам нужно найти эту функцию.

Так как $(x^2-y^2)dx-2xydy$ является полным дифференциалом функции $U(x, y) = 0$, то

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial U}{\partial x}=x^2-y^2\\ \frac{\partial U}{\partial y}=-2xy\end{array}\right.$

Интегрируем по $x$ первое уравнение системы:

$U(x,y)=\int (x^2-y^2)dx+\phi \left(y\right)=\frac{x^3}{3}-x{y}^2+\phi \left(y\right)$

Теперь дифференцируем по y полученный результат:

$\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial \left({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x{y}^2+\phi \left(y\right)\right)}{\partial y}=-2xy+{\phi }_y^{\text{'}}\left(y\right)$

Преобразовав второе уравнение системы, получаем: $\frac{\partial U}{\partial y}=-2xy$. Это значит, что
$$\begin{gathered} -2xy+{\phi }_y^{\text{'}}\left(y\right)=-2xy \\ {\phi }_y^{\text{'}}\left(y\right)=0\Rightarrow \phi \left(y\right)=\int 0dx=C \end{gathered}$$

где $С$ – произвольная постоянная.

Получаем: $U(x,y)=\frac{x^3}{3}-x{y}^2+\phi \left(y\right)=\frac{x^3}{3}-x{y}^2+C$. Общим интегралом исходного уравнения является  $\frac{x^3}{3}-x{y}^2+C=0$.

Найдите общее решение дифференциального уравнения $(y-y^2)dx+(x-2xy)dy=0$.

Решение

Проведем проверку, выполняется ли условие $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$:

$$\begin{gathered} \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (y-y^2)}{\partial y}=1-2y \\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (x-2xy)}{\partial x}=1-2y \end{gathered}$$

Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции $U(x, y)=0$. Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки $(1; 1)$ до $(x, y)$. Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой $y = 1$ от точки $(1, 1)$ до $(x, 1)$, а затем от точки $(x, 1)$ до $(x, y)$:

$$\begin{gathered} {\int }_{(1,1)}^{(x,y)}\left(y-y^2\right)dx+(x-2xy)dy= \\ ={\int }_{(1,1)}^{(x,1)}(y-y^2)dx+(x-2xy)dy+ \\ +{\int }_{(x,1)}^{(x,y)}(y-y^2)dx+(x-2xy)dy= \\ ={\int }_1^x(1-1^2)dx+{\int }_1^y(x-2xy)dy=(xy-x{y}^2)\overline{)\begin{array}{c}y\\ 1\end{array}=} \\ =xy-x{y}^2-(x·1-x·1^2)=xy-x{y}^2 \end{gathered}$$

Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида $xy-x{y}^2+C=0$.

Определите общее решение дифференциального уравнения $y·\cos xdx+{\sin }^{2}xdy=0$.

Решение

Проверим, выполняется ли условие $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$.

Так как $\frac{\partial (y·\cos x)}{\partial y}=\cos x, \frac{\partial \left({\sin }^{2}x\right)}{\partial x}=2\sin x·\cos x$, то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.