Виды дифференциальных уравнений

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений $1$-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ $2$-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что $y\text{'}=\frac{dx}{dy}$, если y является функцией аргумента $x$.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида $y\text{'}=f\left(x\right)$

Начнем с примеров таких уравнений.$$

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений $f\left(x\right)·y\text{'}=g\left(x\right)$ является метод деления обеих частей на $f\left(x\right)$. Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида $y\text{'}=\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}$. Оно является эквивалентом исходного уравнения при $f\left(x\right) \ne 0$.

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента $х$, при которых функции $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ одновременно обращаются в $0$. В качестве дополнительного решения в уравнениях $f\left(x\right)·y\text{'}=g\left(x\right)$ при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения $х$.

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения $1$-го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида $f_1\left(y\right)·g_1\left(x\right)dy=f_2\left(y\right)·g_2\left(x\right)dx$ или $f_1\left(y\right)·g_1\left(x\right)·y\text{'}=f_2\left(y\right)·g_2\left(x\right)$

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид $f\left(y\right)dy=g\left(x\right)dx$. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные $х$ и $у$, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: $\int f\left(y\right)dy=\int f\left(x\right)dx$

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение $f_2\left(y\right) \cdot g_1\left(x\right)$. Так мы придем к уравнению $\frac{f_1\left(y\right)}{f_2\left(y\right)}dy=\frac{g_2\left(x\right)}{g_1\left(x\right)}dx$. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно $f_2\left(y\right) \ne 0$ и $g_1\left(x\right) \ne 0$. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение $z = ax+by$. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида $y\text{'}=f(ax+by), a,b\in R$.

Заменив $z=\frac{x}{y}$ или $z=\frac{y}{x}$ в выражениях $y\text{'}=f\left(\frac{x}{y}\right)$ или $y\text{'}=f\left(\frac{y}{x}\right)$, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка $y\text{'}+P\left(x\right)·y=Q\left(x\right)$

Приведем примеры таких уравнений.

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию $у$ в виде произведения $y\left(x\right) = u\left(x\right)v\left(x\right)$. Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли $y\text{'}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^a$

Приведем примеры подобных уравнений.

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки $z=y^{1-a}$, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению $1$-го порядка. Также применим метод представления функции $у$ в качестве $y\left(x\right) = u\left(x\right)v\left(x\right)$.

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

Если для любых значений $x$ и $y$ выполняется $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение $P(x, y)dx+Q(x, y)dy$ представляло собой полный дифференциал некоторой функции $U(x, y)=0$, то есть, $dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy$. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции $U(x, y)=0$ по ее полному дифференциалу.

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  $y\text{'}\text{'}+py\text{'}+qy=0, p,q\in R$

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения $k^2+pk+q=0$. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных $p$ и $q$:

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения $k_1\ne k_2, k_1, k_2\in R$;
• действительные и совпадающие $k_1=k_2=k, k\in R$;
• комплексно сопряженные $k_1=\alpha +i·\beta , k_2=\alpha -i·\beta$.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• $y=C_1{e}^{k_{1}x}+C_2{e}^{k_{2}x}$;
• $y=C_1{e}^{kx}+C_{2}x{e}^{kx}$;
• $y=e^{a·x}·(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$.

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения $2$-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами $y\text{'}\text{'}+py\text{'}+qy=f\left(x\right), p,q\in R$

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения $y_0$, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению $y\text{'}\text{'}+py\text{'}+qy=0$, и частного решения $\tilde{y}$ исходного уравнения. Получаем: $y=y_0+\tilde{y}$.

Способ нахождения $y_0$ мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение $\tilde{y}$ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции $f\left(x\right)$, которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ $2$-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) $y\text{'}\text{'}+p\left(x\right)·y\text{'}+q\left(x\right)·y=0$ и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка $y\text{'}\text{'}+p\left(x\right)·y\text{'}+q\left(x\right)·y=f\left(x\right)$

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке $[a; b]$ общее решение линейного однородного дифференциального уравнения $y\text{'}\text{'}+p\left(x\right)·y\text{'}+q\left(x\right)·y=0$ представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений $y_1$ и $y_2$ этого уравнения, то есть, $y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$.

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

$$\begin{gathered} 1) 1, x, x^2, ..., x^n \\ 2) e^{k_{1}x}, e^{k_{2}x}, ..., e^{k_{n}x} \\ 3) e^{k_{1}x}, x·e^{k_{1}x}, ..., x^{n_1}·e^{k_{1}x}, \\ {e}^{k_{2}x}, x·e^{k_{2}x}, ..., x^{n_2}·e^{k_{2}x}, \\ ... \\ {e}^{k_{p}x}, x·e^{k_{p}x}, ..., x^{n_p}·e^{k_{p}x} \\ 4) 1, chx, shx \end{gathered}$$

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения $y\text{'}\text{'}+p\left(x\right)·y\text{'}+q\left(x\right)·y=f\left(x\right)$ мы можем найти в виде суммы $y=y_0+\tilde{y}$, где $y_0$ - общее решение соответствующего ЛОДУ, а $\tilde{y}$ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти $y_0$ можно описанным выше способом. Определить $\tilde{y}$ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену $y^{\left(k\right)}=p\left(x\right)$ для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения $F(x, y^{\left(k\right)}, y^{(k+1)}, ..., y^{\left(n\right)})=0$, которое не содержит искомой функции и ее производных до $k-1$ порядка.

В этом случае $y^{(k+1)}=p\text{'}\left(x\right), y^{(k+2)}=p\text{'}\text{'}\left(x\right), ..., y^{\left(n\right)}=p^{(n-k)}\left(x\right)$, и исходное дифференциальное уравнение сведется к $F_1(x, p, p\text{'}, ..., p^{(n-k)})=0$. После нахождения его решения $p\left(x\right)$ останется вернуться к замене $y^{\left(k\right)}=p\left(x\right)$ и определить неизвестную функцию $y$.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид $F(y, y\text{'}, y\text{'}\text{'}, ..., y^{\left(n\right)})=0$, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену $\frac{dy}{dx}=p\left(y\right)$, где $p\left(y\right(x\left)\right)$ будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

$$\begin{gathered} \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p\left(y\right) \\ \frac{d^{3}y}{d{x}^3}=\frac{d\left({\displaystyle \frac{dp}{dy}}p\left(y\right)\right)}{dx}=\frac{d^{2}p}{d{y}^2}\frac{dy}{dx}p\left(y\right)+\frac{dp}{dy}\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}= \\ =\frac{d^{2}p}{d{y}^2}{p}^2\left(y\right)+{\left(\frac{dp}{dy}\right)}^{2}p\left(y\right) \end{gathered}$$
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами $y^{\left(n\right)}+f_{n-1}·y^{(n-1)}+...+f_1·y\text{'}+f_0·y=0$ и $y^{\left(n\right)}+f_{n-1}·y^{(n-1)}+...+f_1·y\text{'}+f_0·y=f\left(x\right)$

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

• находим корни характеристического уравнения $k^n+f_{n-1}·k^{n-1}+...+f_1·k+f_0=0$;
• записываем общее решение ЛОДУ $y_0$ в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой $y=y_0+\tilde{y}$, где $\tilde{y}$ - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения $\tilde{y}$ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков $y^{\left(n\right)}+f_{n-1}\left(x\right)·y^{(n-1)}+...+f_1\left(x\right)·y\text{'}+f_0\left(x\right)·y=0$ и $y^{\left(n\right)}+f_{n-1}\left(x\right)·y^{(n-1)}+...+f_1\left(x\right)·y\text{'}+f_0\left(x\right)·y=f\left(x\right)$

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме $y=y_0+\tilde{y}$, где $y_0$ - общее решение соответствующего ЛОДУ, а $\tilde{y}$ - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

$y_0$ представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций $y_1, y_2, ..., y_n$, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство $y^{\left(n\right)}+f_{n-1}\left(x\right)·y^{(n-1)}+...+f_1\left(x\right)·y\text{'}+f_0\left(x\right)·y=0$ в тождество. Частные решения $y_1, y_2, ..., y_n$ обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, $y=y_0+\tilde{y}=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum C_j·y_j+\tilde{y}}}$

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида $\left\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=a_{1}x+b_{1}y+c_1\\ \frac{dy}{dt}=a_{2}x+b_{2}y+c_2\end{array}\right.$

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.