Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения $5 \cdot 3$ и $5 \cdot 4$ , то мы можем вынести за скобки общий множитель $5$ .

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель $5$ в $5 \cdot 3$ и $5 \cdot 4$ и получим $5 (3 + 4)$ . Итоговое выражение – это произведение общего множителя $5$ на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без $5$ .

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Определение 1

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Замечание 1

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение $3 \cdot 7 + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 5$ , которое является суммой трех слагаемых $3 \cdot 7, 3 \cdot 2$ и общего множителя $3$ . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как $3 \cdot (7 + 2 - 5)$ . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: $3 \cdot 7 + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 5 = 3 \cdot (7 + 2 - 5)$ .

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в $3 \cdot x - 7 \cdot x + 2$ можно вынести переменную $x$ и получить $3 \cdot x - 7 \cdot x + 2 = x \cdot (3 - 7) + 2$ , в выражении $(x^{2} + y) \cdot x \cdot y - (x^{2} + y) \cdot x^{3}$ – общий множитель $(x^{2} + y)$ и получить в итоге $(x^{2} + y) \cdot (x \cdot y - x^{3})$ .

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Замечание 2

Так, к примеру, в выражении $6 \cdot x + 4 \cdot y$ можно вынести общий множитель $2$ , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как $2 \cdot 3$ , а четыре как $2 \cdot 2$ . То есть $6 \cdot x + 4 \cdot y = 2 \cdot 3 \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot y = 2 \cdot (3 \cdot x + 2 \cdot y)$ . Или в выражении $x^{3} + x^{2} + 3 \cdot x$ можно вынести за скобки общий множитель $x$ , который обнаруживается после замены $x^{3}$ на $x \cdot x^{2} .$ Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение $x \cdot (x^{2} + x + 3)$ .

Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение $- 5 - 12 \cdot x + 4 \cdot x \cdot y$ . Перепишем выражение как $(- 1) \cdot 5 + (- 1) \cdot 12 \cdot x - (- 1) \cdot 4 \cdot x \cdot y$ , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим $- (5 + 12 \cdot x - 4 \cdot x \cdot y)$ . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.