Интегрирование по частям

Вычислите неопределенный интеграл $\int \ln \left(x\right)dx$.

Решение

Используем метод интегрирования по частям. Для этого берем $\ln \left(x\right)$ как функцию $u\left(x\right)$, а остаток подынтегрального выражения – как $d\left(v\right(x\left)\right)$. В итоге получаем, что $\ln \left(x\right)dx=u\left(x\right)d\left(v\right(x\left)\right)$, где $u\left(x\right)=\ln \left(x\right), d\left(v\right(x\left)\right)=dx$.

Дифференциалом функции $u\left(x\right)$ является $d\left(u\right(x\left)\right)-u^{\text{'}}\left(x\right)dx=\frac{dx}{x}$, а функция $v\left(x\right)$ может быть представлена как $v\left(x\right)=\int d\left(v\right(x\left)\right)=\int dx=x$

Важно: константа $C$ при вычислении функции $v\left(x\right)$будет считаться равной $0$.

Подставим то, что у нас получилось, в формулу интегрирования по частям:

$$\begin{gathered} \int \ln \left(x\right)dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int v\left(x\right)d\left(u\right(x\left)\right)= \\ =\ln \left(x\right)·x-\int x·\frac{dx}{x}=\ln \left(x\right)·x-\int dx=\ln \left(x\right)·x-\left(x+C_1\right)= \\ =x\left(\ln \right(x)-1)+C \end{gathered}$$

где $C=-C_1$

Ответ: $\int \ln \left(x\right)dx=x\left(\ln \right(x)-1)+C$.

Найдите множество первообразных функции $f\left(x\right)=(x+1)·\sin \left(2x\right)$.

Решение

Мы можем взять по частям неопределенный интеграл $\int (x+1)·\sin \left(2x\right)dx$. Берем $x+1$ в качестве $u\left(x\right)$ и $\sin \left(2x\right)dx$ в качестве $d\left(v\right(x\left)\right)$, то есть $d\left(u\right(x\left)\right) = d(x+1) = dx$.

Используя непосредственное интегрирование, получим:

$v\left(x\right)=\int \sin \left(2x\right)dx=-\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)$

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

$$\begin{gathered} \int (x+1)·\sin \left(2x\right)dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int v\left(x\right)d\left(u\right(x\left)\right)= \\ =(x+1)·\left(-\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)\right)-\int \left(-\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)\right)dx= \\ =-\frac{1}{2}(x+1)·\cos \left(2x\right)+\frac{1}{2}\int \cos \left(2x\right)·d\left(x\right)= \\ =-\frac{1}{2}(x+1)·\cos \left(2x\right)+\frac{1}{4}\sin \left(2x\right)+C \end{gathered}$$

Ответ: $\int (x+1)·\sin \left(2x\right)dx=-\frac{1}{2}(x+1)·\cos \left(2x\right)+\frac{1}{4}\sin \left(2x\right)+C$.

Вычислите неопределенный интеграл $\int (x^2+2x)e^{x}dx$.

Решение

Берем многочлен второго порядка $x^2+2x$ в качестве $u\left(x\right)$ и $d\left(v\right(x\left)\right)-e^{x}dx$.

$$\begin{gathered} \int \left(x^2+2x\right)e^{x}dx=\left\{u\left(x\right)=x^2+2x, d\left(v\right(x\left)\right)=e^{x}dx \\ d\left(u\right(x\left)\right)=(2x+2)dx, v\left(x\right)=\int e^{x}dx=e^x\right\}= \\ =u\left(x\right)v\left(x\right)-\int v\left(x\right)d\left(u\right(x\left)\right)=(x^2+2x)e^x-\int (2x+2)e^{x}dx \end{gathered}$$

К тому, что у нас получилось, надо опять применить метод интегрирования по частям:

$$\begin{gathered} \int (2x+2)e^{x}dx=(x^2+2x)e^x-\int \left(2x+2\right)e^{x}dx= \\ =\left\{u\left(x\right)=(2x+2), d\left(v\right(x\left)\right)=e^{x}dx \\ d\left(u\right(x\left)\right)=2dx, v\left(x\right)=\int e^{x}dx=e^x\right\}= \\ =(x^2+2x)e^x-\left((2x+2)e^x-\int v\left(x\right)d\left(u\right(x\left)\right)\right)= \\ =(x^2+2x)e^x-\left((2x+2)e^x-\int 2e^{x}dx\right)= \\ =(x^2+2x-2x-2)e^x+2\int e^{x}dx=(x^2-2)e^x+2e^x+C=x^2{e}^x+C \end{gathered}$$

Ответ: $\int (x^2+2x)e^{x}dx=x^2{e}^x+C$.

Вычислите интеграл $\int x^3\cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx$.

Решение

Согласно методу интегрирования по частям, берем $u\left(x\right)=x^3$ и $d\left(v\right(x\left)\right)=\cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx$.

В таком случае $d\left(u\right(x\left)\right)=3x^{2}dx$ и $v\left(x\right)=\int \cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx=3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу:

$$\begin{gathered} \int x^3\cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int v\left(x\right)d\left(u\right))= \\ =x^3\left(3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)\right)-\int 3x^2\left(3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)\right)dx= \\ =3x^3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)-9\int x^2\sin \left(\frac{1}{3}x\right)dx \end{gathered}$$

У нас получился неопределенный интеграл, который опять же нужно взять по частям:

$$\begin{gathered} \int x^3\cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx=3x^3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)-9\int x^2\sin \left(\frac{1}{3}x\right)dx= \\ =\left\{u\left(x\right)=x^2, d\left(v\right(x\left)\right)=\sin \left(\frac{1}{3}x\right)dx \\ d\left(u\right(x\left)\right)=2xdx, v\left(x\right)=\int \sin \left(\frac{1}{3}x\right)dx=-3\cos \left(\frac{1}{3}x\right)\right\}= \\ =3x^3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)-9\left(-3x^2\cos \left(\frac{1}{3}x\right)-\int \left(-3\cos \left(\frac{1}{3}x\right)\right)·2xdx\right)= \\ =3x^3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)+27x^2·\cos \left(\frac{1}{3}x\right)-54\int x\cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx \end{gathered}$$

Выполняем частичное интегрирование еще раз:

$$\begin{gathered} \int x^3\cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx=3x^3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)+27x^2·\cos \left(\frac{1}{3}x\right)-54\int x\cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx= \\ =\left\{u\left(x\right)=x, d\left(v\right(x\left)\right)=\cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx \\ d\left(u\right(x\left)\right)=dx, v\left(x\right)=\int \cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx=3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)\right\}= \\ =3x^3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)+27x^2\cos \left(\frac{1}{3}x\right)-54\left(3x\sin \left(\frac{1}{3}x\right)-\int 3\sin \left(\frac{1}{3}x\right)dx\right)= \\ =\left(3x^3-162x\right)\sin \left(\frac{1}{3}x\right)+27x^2\cos \left(\frac{1}{3}x\right)+162\int \sin \left(\frac{1}{3}x\right)dx= \\ =(3x^3-162x)\sin \left(\frac{1}{3}x\right)+27x^2\cos \left(\frac{1}{3}x\right)-486\cos \left(\frac{1}{3}x\right)+C= \\ =(3x^3-162x)\sin \left(\frac{1}{3}x\right)+(27x^2-486)\cos \left(\frac{1}{3}x\right)+C \end{gathered}$$

Ответ: $\int x^3\cos \left(\frac{1}{3}x\right)dx=(3x^3-162x)\sin \left(\frac{1}{3}x\right)+(27x^2-486)\cos \left(\frac{1}{3}x\right)+C$.

Вычислите множество первообразных функции $(x+1)\ln \left(2x\right)$.

Решение

Принимаем  $\ln \left(2x\right)$ в качестве $u\left(x\right)$, а $(x+1)dx$ – в качестве $d\left(v\right(x\left)\right)$. Получаем:

$$\begin{gathered} d\left(u\right(x\left)\right)=\left(\ln \right(2x){)}^{\text{'}}dx=\frac{1}{2x}(2x{)}^{\text{'}}dx=\frac{dx}{x} \\ v\left(x\right)=\int (x+1)dx=\frac{x^2}{2}+x \end{gathered}$$

Подставим эти выражения в формулу:

$$\begin{gathered} \int (x+1)\ln \left(2x\right)dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int v\left(x\right)d\left(u\right(x\left)\right)= \\ =\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln \left(2x\right)-\int \left(\frac{x^2}{2}+x\right)\frac{dx}{x}= \\ =\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln \left(2x\right)-\int \left(\frac{x}{2}+1\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln \left(2x\right)-\frac{1}{2}\int xdx-\int dx= \\ =\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln \left(2x\right)-\frac{x^2}{4}-x+C \end{gathered}$$

Ответ: $\int (x+1)\ln \left(2x\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln \left(2x\right)-\frac{x^2}{4}-x+C$.

Вычислите неопределенный интеграл $\int x·arc\sin \left(2x\right)dx$.

Решение

Решаем, какую часть взять за $u\left(x\right)$, а какую – за $d\left(v\right(x\left)\right)$. Согласно правилу, приведенному выше, в качестве первой функции нужно взять $arc\sin \left(2x\right)$, а $d\left(v\right(x\left)\right) = xdx$. Получим:

$d\left(u\right(x\left)\right)=\left(arc\sin \right(2x{)}^{\text{'}}dx=\frac{{\left(2x\right)}^{\text{'}}dx}{\sqrt{1-(2x{)}^2}}=\frac{2dx}{\sqrt{1-(2x{)}^2}}, v\left(x\right)=\int xdx=\frac{x^2}{2}$

Подставляем значения в формулу:

$$\begin{gathered} \int x·arc\sin \left(2x\right)dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int v\left(x\right)d\left(u\right(x\left)\right)= \\ =\frac{x^2}{2}arc\sin \left(2x\right)-\int \frac{x^2}{2}-\frac{2dx}{\sqrt{1-(2x{)}^2}}=\frac{x^2}{2}arc\sin \left(2x\right)-\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}} \end{gathered}$$

В итоге мы пришли к следующему равенству:

$\int x·arc\sin \left(2x\right)dx=\frac{x^2}{2}arc\sin \left(2x\right)-\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}$

Теперь вычислим получившийся в итоге интеграл $\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}$:

$$\begin{gathered} \int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}=\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{4\left({\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2\right)}}=\frac{1}{2}\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2}}=-\frac{1}{2}\int \frac{-x^{2}dx}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2}}= \\ =-\frac{1}{2}\int \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2}}dx=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}dx}+\frac{1}{8}\int \frac{dx}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2}}= \\ =-\frac{1}{2}\int \sqrt{\frac{1}{4}-x^2}dx+\frac{1}{8}arc\sin \left(2x\right) \end{gathered}$$

Здесь можно применить метод интегрирования по частям и получить:

$$\begin{gathered} \int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}=-\frac{1}{2}\int \sqrt{\frac{1}{4}-x^2}dx+\frac{1}{8}arc\sin \left(2x\right)= \\ =\left\{u\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}, d\left(v\right(x\left)\right)=dx \\ d\left(u\right(x\left)\right)=\frac{{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2\right)}^{\text{'}}dx}{2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2}}=\frac{-xdx}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2}}, v\left(x\right)=\int dx=x\right\}= \\ =-\frac{1}{2}\left(u\left(x\right)v\left(x\right)-\int v\left(x\right)d\left(u\right(x\left)\right)\right)+\frac{1}{8}arc\sin \left(2x\right)= \\ =-\frac{1}{2}\left(x\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}-\int \frac{-x^{2}dx}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2}}\right)+\frac{1}{8}arc\sin \left(2x\right)= \\ =-\frac{1}{2}x\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}-\frac{1}{2}\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2}}+\frac{1}{8}arc\sin \left(2x\right)= \\ =-\frac{1}{2}x\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}-\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}+\frac{1}{8}arc\sin \left(2x\right) \end{gathered}$$

Теперь наше равенство выглядит так:

$\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}=-\frac{1}{2}x\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}-\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}+\frac{1}{8}arc\sin \left(2x\right)$

Мы видим, что интеграл справа аналогичен тому, что получился слева. Переносим его в другую часть и получаем:

$$\begin{gathered} 2\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}=-\frac{1}{2}x\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}+\frac{1}{8}arc\sin \left(2x\right)+C_1\Rightarrow \\ \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}=-\frac{1}{4}x\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}+\frac{1}{16}arc\sin \left(2x\right)+C_2 \\ \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}=-\frac{1}{8}x\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}+\frac{1}{16}arc\sin \left(2x\right)+C_2 \end{gathered}$$

где $C_2=\frac{C_1}{2}$

Вернемся к исходным переменным:

$$\begin{gathered} \int x·arc\sin \left(2x\right)dx=\frac{x^2}{2}arc\sin \left(2x\right)-\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-4x^2}}= \\ =\frac{x^2}{2}arc\sin \left(2x\right)-\left(-\frac{1}{8}x\sqrt{1-4x^2}+\frac{1}{16}arc\sin \left(2x\right)+C_2\right)= \\ =\frac{1}{2}\left(x^2-\frac{1}{8}\right)arc\sin \left(2x\right)+\frac{1}{8}x\sqrt{1-4x^2}+C \end{gathered}$$

где $С=-{С}_2$

Ответ: $\int x·arc\sin \left(2x\right)dx=\frac{1}{2}\left(x^2-\frac{1}{8}\right)arc\sin \left(2x\right)+\frac{1}{8}x\sqrt{1-4x^2}+C$.

Вычислите неопределенный интеграл  $\int e^x·\sin \left(2x\right)dx$.

Решение

$$\begin{gathered} \int e^x\sin \left(2x\right)dx=\left\{u\left(x\right)=\sin \left(2x\right), d\left(v\right(x\left)\right)=e^{x}dx \\ d\left(u\right(x\left)\right)=2\cos \left(2x\right)dx, v\left(x\right)=\int e^{x}dx=e^x\right\}= \\ =u\left(x\right)v\left(x\right)-\int v\left(x\right)d\left(u\right(x\left)\right)=\sin \left(2x\right)e^x-\int e^x·2\cos \left(2x\right)dx= \\ =\sin \left(2x\right)e^x-2\int e^x\cos \left(2x\right)dx=\left\{u\left(x\right)=\cos \left(2x\right), d\left(v\right(x\left)\right)=e^{x}dx \\ d\left(u\right(x\left)\right)=-2\sin \left(2x\right)dx, v\left(x\right)=\int e^{x}dx=e^x\right\}= \\ =\sin \left(2x\right)e^x-2\left(\cos \left(2x\right)e^x-\int \left(e^x\right(-2\sin \left(2x\right)dx\left)\right)\right)= \\ =\sin \left(2x\right)e^x=2\cos \left(2x\right)e^x-4\int e^x\sin \left(2x\right)dx \end{gathered}$$

В итоге у нас получится:

$\int e^x\sin \left(2x\right)dx=\sin \left(2x\right)e^x-2\cos \left(2x\right)e^x-4\int e^x\sin \left(2x\right)dx$

Мы видим одинаковые интегралы слева и справа, значит, можем привести подобные слагаемые:

$$\begin{gathered} 5\int e^x\sin \left(2x\right)dx=\sin \left(2x\right)e^x-2\cos \left(2x\right)e^x\Rightarrow \\ \int e^x\sin \left(2x\right)dx=\frac{1}{5}\sin \left(2x\right)e^x-\frac{2}{5}\cos \left(2x\right)e^x+C \end{gathered}$$

Ответ: $\int e^x\sin \left(2x\right)dx=\frac{1}{5}\sin \left(2x\right)e^x-\frac{2}{5}\cos \left(2x\right)e^x+C$