Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Метод Крамера для решения СЛАУ
- 16 августа 2023
- 7 минут
- 14 487
В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.
Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.
Метод Крамера — вывод формул
Найти решение системы линейных уравнений вида:
В этой системе - неизвестные переменные,
- числовые коэффициенты,
- свободные члены.
Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений , при которых все уравнения системы становятся тождественными.
Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:
, где — основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;
— матрица-столбец свободных членов;
— матрица-столбец неизвестных переменных.
После того как мы найдем неизвестные переменные , матрица становится решением системы уравнений, а равенство обращается в тождество.
Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:
- Определитель квадратной матрицы равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
- Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:
не равно
Приступаем к нахождению неизвестной переменной :
- Умножаем обе части первого уравнения системы на , обе части второго уравнения на и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы :
- Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:
Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:
Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:
.
Откуда
Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.
Если обозначить
, ,
, ... .
то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:
Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера
- Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
- Найти определители
Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы путем замены -столбца на столбец свободных членов.
- Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:
- Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.
Примеры решения СЛАУ методом Крамера
Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:
Как решать?
Основная матрица представлена в виде .
Мы можем вычислить ее определитель по формуле:
Записываем определители и . Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель
По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:
Находим эти определители:
Находим неизвестные переменные по следующим формулам
Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:
Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.
Ответ:
Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.
Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:
За основную матрицу нельзя брать .
Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:
С этого момента основную матрицу хорошо видно:
Вычисляем ее определитель:
Записываем определители и вычисляем их:
Находим неизвестные переменные по формулам:
Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение :
Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.
Ответ: