Координаты вектора в декартовой системе координат: векторные координаты, радиус вектор

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Определение 1

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается $O x y$ , где $O x$ и $O y$ – оси коорднат. Ось $O x$ называют осью абсцисс, а ось $O y$ – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось $O z$ , которая перпендикулярна и $O x$ и $O y$ ).

Замечание 1

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат $O x y$ на плоскости если мы отложим от начала координат векторы $i$ и $j$ , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей $O x$ и $O y$ , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае $i$ и $j$ являются координатными векторами.

Координатные векторы

Определение 2

Векторы $i$ и $j$ называются координатными векторами для заданной системы координат.

Замечание 2

Откладываем от начала координат произвольный вектор $a$ . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор $a$ может быть представлен в виде $a = a_{x} \cdot i + a_{y} \cdot j$ , где коэффициенты $a_{x}$ и $a_{y}$ - единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Определение 3

Разложением вектора $a$ по координатным векторам $i$ и $j$ на плоскости называется представление вида $a = a_{x} \cdot i + a_{y} \cdot j$ .

Определение 4

Коэффициенты $a_{x}$ и $a_{y}$ называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись $a = (2; - 3)$ означает, что вектор $a$ имеет координаты $(2; - 3)$ в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам $i$ и $j$ как $a = 2 \cdot i - 3 \cdot j$ .

Замечание 3

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы $i$ и $j$ имеют координаты $(1; 0)$ и $(0; 1)$ соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений $i = 1 \cdot i + 0 \cdot j; j = 0 \cdot i + 1 \cdot j$ .

Также имеет место быть нулевой вектор $0$ с координатами $(0; 0)$ и разложением $0 = 0 \cdot i + 0 \cdot j$ .

Равные и противоположные векторы

Определение 5

Векторы $a и b$ равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Определение 6

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, $- a = (- a_{x}; - a_{y})$ .

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов $i, j, k$ , а произвольный вектор $a$ раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид $a = a_{x} \cdot i + a_{y} \cdot j + a_{z} \cdot k$ , а коэффициенты этого разложения $(a_{x}; a_{y}; a_{z})$ называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты $i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ , координаты нулевого вектора также равны нулю $0 = (0; 0; 0)$ , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны $a = b \Leftrightarrow a_{x} = b_{x}, a_{y} = b_{y}, a_{z} = b_{z}$ , и координаты противоположного вектора $a$ противоположны соответствующим координатам вектора $a$ , то есть, $- a = (- a_{x}; - a_{y}; - a_{z})$ .

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат $O x y$ и на ней задана произвольная точка $M$ с координатами $M (x_{M}; y_{M})$ .

Определение 7

Вектор $O M$ называется радиус-вектором точки $M$ .

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор $O M$ имеет вид суммы $O M = O M_{x} + O M_{y} = x_{M} \cdot i + y_{M} \cdot j$ , где точки $M_{x}$ и $M_{y}$ это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а $i$ и $j$ - координатные векторы, следовательно, вектор $O M$ имеет координаты $(x_{M}; y_{M})$ в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Координаты радиус-вектора точки

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки $M (x_{M}; y_{M}; z_{M})$ разлагается по координатным векторам как $O M = O M_{x} + O M_{y} + O M_{z} = x_{M} \cdot i + y_{M} \cdot j + z_{M} \cdot k$ , следовательно, $O M = (x_{M}; y_{M}; z_{M})$ .