Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Содержание:

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Определение 1

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается , где  и  – оси коорднат. Ось  называют осью абсцисс, а ось  – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось , которая перпендикулярна и  и ).

Замечание 1

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат  на плоскости если мы отложим от начала координат векторы  и  , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей  и  , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае  и  являются координатными векторами.

Координатные векторы

Определение 2

Векторы  и  называются координатными векторами для заданной системы координат.

Замечание 2

Откладываем от начала координат произвольный вектор  . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор  может быть представлен в виде  , где коэффициенты  и  - единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Определение 3

Разложением вектора  по координатным векторам  и  на плоскости называется представление вида .

Определение 4

Коэффициенты  и  называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись  означает, что вектор  имеет координаты  в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам  и  как.

Замечание 3

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы  и  имеют координаты  и  соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений .

Также имеет место быть нулевой вектор  с координатами  и разложением .

Равные и противоположные векторы

Определение 5

Векторыравны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Определение 6

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, .

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов , а произвольный вектор  раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид , а коэффициенты этого разложения  называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты  ,   ,   , координаты нулевого вектора также равны нулю  , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны , и координаты противоположного вектора  противоположны соответствующим координатам вектора  , то есть, .

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат  и на ней задана произвольная точка  с координатами .

Определение 7

Вектор  называется радиус-вектором точки .

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор  имеет вид суммы , где точки  и  это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а  и  - координатные векторы, следовательно, вектор  имеет координаты  в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Координаты радиус-вектора точки

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки  разлагается по координатным векторам как , следовательно, .

Математические онлайн-калькуляторы

Навигация по статьям

Выполненные работы по математике

  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу