Основные неопределенности пределов и их раскрытие

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.

Выделяют следующие основные виды неопределенностей:

Деление $0$ на $0$ $<\frac{0}{0}>$ ;
Деление одной бесконечности на другую $<\frac{\infty}{\infty}>$ ;
$0$ , возведенный в нулевую степень $<0^{0}>$ ;
бесконечность, возведенная в нулевую степень $<\infty^{0}>$ .

Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.

Раскрытие неопределенностей

Раскрыть неопределенность можно:

С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );
С помощью замечательных пределов;
С помощью правила Лопиталя;
Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).

Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

Неопределенность	Метод раскрытия неопределенности
1. Деление $0$ на $0$	Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид $\frac{\sin (k x)}{k x}$ или $\frac{k x}{\sin (k x)}$ то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений
2. Деление бесконечности на бесконечность	Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя
3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями	Преобразование в $<\frac{0}{0}>$ или $<\frac{\infty}{\infty}>$ с последующим применением правила Лопиталя
4. Единица в степени бесконечности	Использование второго замечательного предела
5. Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень	Логарифмирование выражения с применением равенства $\lim_{x \to x_{0}} \ln (f (x)) = \ln (\lim_{x \to x_{0}} f (x))$

Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

Пример 1

Вычислите предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 3 x - 1}{\sqrt{x^{5} + 3}}$ .

Решение

Выполняем подстановку значений и получаем ответ.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 3 x - 1}{\sqrt{x^{5} + 3}} = \frac{1^{3} + 3 \cdot 1 - 1}{\sqrt{1^{5} + 3}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 3 x - 1}{\sqrt{x^{5} + 3}} = \frac{3}{2}$ .

Пример 2

Вычислите предел $\lim_{x \to 0} (x^{2} + 2, 5)^{\frac{1}{x^{2}}}$ .

Решение

У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставить $x = 0$ .

$({x^{2} + 2, 5)}_{x = 0} = 0^{2} + 2, 5 = 2, 5$

Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:

$\lim_{x \to 0} (x^{2} + 2, 5)^{\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to 0} 2, 5 \frac{1}{x^{2}}$

Теперь разберемся с показателем – степенной функцией $\frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$ . Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: $\lim_{x \to 0 + 0} \frac{1}{x^{2}} = \lim_{x \to 0 + 0} x^{- 2} = + \infty$ и $\lim_{x \to 0 + 0} \frac{1}{x^{2}} = \lim_{x \to 0 + 0} x^{- 2} = + \infty$

Таким образом, можно записать, что $\lim_{x \to 0} (x^{2} + 2, 5)^{\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to 0} 2, 5^{\frac{1}{x^{2}}} = 2, 5^{+ \infty}$ .

Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими $0$ , и получаем:

$\lim_{x \to 0} (x^{2} + 2, 5)^{\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to 0} 2, 5^{\frac{1}{x^{2}}} = 2, 5^{+ \infty} = + \infty$

Ответ: $\lim_{x \to 0} (x^{2} + 2, 5)^{\frac{1}{x^{2}}} = + \infty$ .

Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

Пример 3

Вычислите предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x - 1}}$ .

Решение

Выполняем подстановку значений.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x - 1}} = \frac{1^{2} - 1}{\sqrt{1 - 1}} = <\frac{0}{0}>$

В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x - 1}} = <\frac{0}{0}> = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{\sqrt{x - 1}} = = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{(x - 1)} \cdot \sqrt{(x + 1)} \cdot (x + 1)}{\sqrt{x - 1}} = \lim_{x \to 1} ((x + 1) \cdot \sqrt{x - 1}) = = (1 + 1) \cdot \sqrt{1 - 1} = 2 \cdot 0 = 0$

Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.

Ответ: $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x - 1}} = 0$

Пример 4

Вычислите предел $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{12 - x} - \sqrt{6 + x}}$ .

Решение

Подставляем значение и получаем запись следующего вида.

$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{12 - x} - \sqrt{6 + x}} = \frac{3 - 3}{\sqrt{12 - 3} - \sqrt{6 + 3}} = \frac{0}{\sqrt{9} - \sqrt{9}} = <\frac{0}{0}>$

Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 + x})$ :

$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{12 - x} - \sqrt{6 + x}} = <\frac{0}{0}> = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 + x})}{(\sqrt{12 - x} - \sqrt{6 + x}) (\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 + x})}$

Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 + x})}{(\sqrt{12 - x} - \sqrt{6 + x}) (\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 + x})} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 + x})}{{(\sqrt{12 - x})}^{2} - {(\sqrt{6 + x})}^{2}} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 + x})}{12 - x - (6 + x)} = = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 + x})}{6 - 2 x} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 + x})}{- 2 (x - 3)} = = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 + x}}{- 2} = \frac{\sqrt{12 - 3} + \sqrt{6 + 3}}{- 2} = \frac{\sqrt{9} + \sqrt{9}}{- 2} = - \sqrt{9} = - 3$

Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{12 - x} - \sqrt{6 + x}} = - 3$ .

Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

Пример 5

Вычислите предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 x^{2} - 5 x + 2}$ .

Решение

Выполняем подстановку.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 x^{2} - 5 x + 2} = \frac{1^{2} + 2 \cdot 1 - 3}{3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 2} = <\frac{0}{0}>$

В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении $x$ , равном единице, числитель и знаменатель обращаются в $0$ , то мы можем разложить их на множители и потом сократить на $х - 1$ ,и тогда неопределенность исчезнет.

Выполняем разложение числителя на множители:

$x^{2} + 2 x - 3 = 0 D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16 \Rightarrow x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{16}}{2} = - 3 x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{16}}{2} = 1 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)$

Теперь делаем то же самое со знаменателем:

$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0 D = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 \Rightarrow x_{1} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3} x_{2} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = 1 \Rightarrow 3 x^{2} - 5 x + 3 = 3 (x - \frac{2}{3}) (x - 1)$

Мы получили предел следующего вида:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 x^{2} - 5 x + 2} = <\frac{0}{0}> = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3) \cdot (x - 1)}{3 \cdot (x - \frac{2}{3}) \cdot (x - 1)} = = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3)}{3 \cdot (x - \frac{2}{3})} = \frac{1 + 3}{3 \cdot (1 - \frac{2}{3})} = 4$

Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 x^{2} - 5 x + 2} = 4$ .

Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше $0$ , то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.

Например, $\lim_{x \to \infty} (x^{4} + 2 \sqrt[3]{x} - 6) = \lim_{x \to \infty} x^{4} = \infty$ или $\lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x^{4} + 4 x^{3} + 21 x^{2} - 11} = \lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x^{4}} = \infty$ .

Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при $x \to \infty$ у нас возникает неопределенность вида $<\frac{\infty}{\infty}>$ . Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на $x^{m a x (m, n)}$ . Приведем пример решения подобной задачи.

Пример 6

Вычислите предел $\lim_{x \to \infty} \frac{x^{7} + 2 x^{5} - 4}{3 x^{7} + 12}$ .

Решение

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{7} + 2 x^{5} - 4}{3 x^{7} + 12} = <\frac{\infty}{\infty}>$

Степени числителя и знаменателя равны $7$ . Делим их на $x^{7}$ и получаем:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{7} + 2 x^{5} - 4}{3 x^{7} + 12} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{7} + 2 x^{5} - 4}{x^{7}}}{\frac{3 x^{7} + 12}{x^{7}}} = = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{x^{7}}}{3 + \frac{12}{x^{7}}} = \frac{1 + \frac{2}{\infty^{2}} - \frac{4}{\infty^{7}}}{3 + \frac{12}{\infty^{7}}} = \frac{1 + 0 - 0}{3 + 0} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^{7} + 2 x^{5} - 4}{3 x^{7} + 12} = \frac{1}{3}$ .

Пример 7

Вычислите предел $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{8} + 11}}{x^{2} + x + 1}$ .

Решение

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{8} + 11}}{x^{2} + x + 1} = <\frac{\infty}{\infty}>$

Числитель имеет степень $\frac{8}{3}$ , а знаменатель $2$ . Выполним деление числителя и знаменателя на $x^{\frac{8}{3}}$ :

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{8} + 11}}{x^{2} + x + 1} = <\frac{\infty}{\infty}> = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt[3]{x^{8} + 11}}{x^{\frac{8}{3}}}}{\frac{x^{2} + x + 1}{x^{\frac{8}{3}}}} = = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{11}{x^{8}}}}{\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}} = \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{11}{\infty}}}{\frac{1}{\infty} + \frac{1}{\infty} + \frac{1}{\infty}} = \frac{\sqrt[3]{1 + 0}}{0 + 0 + 0} = \frac{1}{0} = \infty$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{8} + 11}}{x^{2} + x + 1} = \infty$ .

Пример 8

Вычислите предел $\lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{\sqrt[3]{x^{10} + 56 x^{7} + 12}}$ .

Решение

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{\sqrt[3]{x^{10} + 56 x^{7} + 12}} = <\frac{\infty}{\infty}>$

У нас есть числитель в степени $3$ и знаменатель в степени $\frac{10}{3}$ . Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на $x^{\frac{10}{3}}$ :

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{\sqrt[3]{x^{10} + 56 x^{7} + 12}} = <\frac{\infty}{\infty}> = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{x^{\frac{10}{3}}}}{\frac{\sqrt[3]{x^{10} + 56 x^{7} + 12}}{x^{\frac{10}{3}}}} = = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} - \frac{1}{x^{\frac{10}{3}}}}{\sqrt[3]{1 + \frac{56}{x^{3}} + \frac{12}{x^{10}}}} = \frac{\frac{1}{\infty} + \frac{2}{\infty} - \frac{1}{\infty}}{\sqrt[3]{1 + \frac{56}{\infty} + \frac{12}{\infty}}} = \frac{0 + 0 - 0}{\sqrt[3]{1 + 0 + 0}} = 0$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{\sqrt[3]{x^{10} + 56 x^{7} + 12}} = 0$ .

Выводы

В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:

Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.
Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.
Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.

Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.