Первый замечательный предел: примеры нахождения, задачи и подробные решения

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Первый замечательный предел выглядит следующим образом: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (k \cdot x)}{k \cdot x} = 1$ , где $k$ – некоторый коэффициент.

Поясним: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (k \cdot x)}{k \cdot x} = \{\begin{array}{l} п у с т ь t = k \cdot x \\ и з x \to 0 с л е д у е т t \to 0 \end{array} \begin{array}{r} \end{array}\} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{t} = 1$ .

Следствия первого замечательного предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} = \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{1} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{k \cdot x}{\sin (k \cdot x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (k \cdot x)}{k \cdot x}} = \frac{1}{1} = 1$

Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.

Пример 1

Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{2 x}$ .

Решение

Подставим значение:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{2 x} = <\frac{0}{0}>$

Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на $3 x$ и получим:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{2 x} = <\frac{0}{0}> = \lim_{x \to 0} \frac{3 x \cdot \sin (3 x)}{3 x \cdot (2 x)} = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin (3 x)}{3 x} \cdot \frac{3 x}{2 x}) = = \lim_{x \to 0} (\frac{3}{2} \cdot \frac{\sin (3 x)}{3 x})$

Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: $\lim_{x \to 0} (\frac{\sin (3 x)}{3 x}) = 1$ .

Тогда приходим к результату:

$\lim_{x \to 0} (\frac{3}{2} \cdot \frac{\sin (3 x)}{3 x}) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{3 x} = \frac{3}{2}$ .

Пример 2

Необходимо найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x^{2}}$ .

Решение

Подставим значения и получим:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x^{2}} = \frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{3 \cdot 0^{2}} = \frac{1 - 1}{0} = <\frac{0}{0}>$

Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x^{2}} = <\frac{0}{0}> = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} (x)}{3 x^{2}}$

Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} (x)}{3 x^{2}} = \lim_{x \to 0} (\frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{x}) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{3}$

Ответ: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x^{2}} = \frac{2}{3}$ .

Пример 3

Необходимо произвести вычисление предела $\lim_{x \to 0} \frac{a r c \sin (4 x)}{3 x}$ .

Решение

Подставим значение:

$\lim_{x \to 0} \frac{a r c \sin (4 x)}{3 x} = \frac{a r c \sin (4 \cdot 0)}{3 \cdot 0} = <\frac{0}{0}>$

Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:

пусть

$a r c \sin (4 x) = t \Rightarrow \sin (a r c \sin (4 x)) = \sin (t) 4 x = \sin (t) \Rightarrow x = \frac{1}{4} \sin (t) \lim_{x \to 0} (a r c \sin (4 x)) = a r c \sin (4 \cdot 0) = 0$ , значит $t \to 0$ при $x \to 0$ .

В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:

$\lim_{x \to 0} \frac{a r c \sin (4 x)}{3 x} = <\frac{0}{0}> = \lim_{t \to 0} \frac{t}{3 \cdot \frac{1}{4} \sin (t)} = = \lim_{t \to 0} (\frac{4}{3} \cdot \frac{t}{\sin t}) = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$