Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой (общее уравнение прямой на плоскости и его исследование). Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и его исследование, как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой (неполного уравнения, полного уравнения). Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач на уравнения.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Как найти уравнение прямой? Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат $Oxy$.

Так, без какой-либо помощи онлайн мы смогли доказать и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты $А$ и $В$ при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой $Ax+By+C=0$.

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение $2x+3y-2=0$, которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор $\overrightarrow{n}= (2, 3)$. Изобразим заданную прямую линию из уравнения с вектором на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением $2x+3y-2=0$, поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение $\lambda ·Ax+\lambda ·By+\lambda ·C=0$, умножив обе части общего уравнения прямой на число $\lambda$, не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

1. Когда $А=0, В\ne 0, С\ne 0,$ общее уравнение принимает вид $By+C=0$. Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат $Oxy$ прямую, которая параллельна оси $Ox$, поскольку при любом действительном значении $x$ переменная y примет значение $-\frac{C}{B}$ . Иначе говоря, общее уравнение прямой $Ax+By+C=0$, когда $А=0, В\ne 0$, задает геометрическое место точек $(x, y)$, координаты которых равны одному и тому же числу $-\frac{C}{B}$.
2. Если $А=0, В\ne 0, С=0$, общее уравнение принимает вид $y=0$. Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс $Ox$.
3. Когда $А\ne 0, В=0, С\ne 0$, получаем неполное общее уравнение $Ax+С=0$, задающее прямую, параллельную оси ординат.
4. Пусть $А\ne 0, В=0, С=0$, тогда неполное общее уравнение примет вид $x=0$, и это есть уравнение координатной прямой $Oy$.
5. Наконец, при $А\ne 0, В\ne 0, С=0,$ неполное общее уравнение принимает вид $Ax+By=0.$ И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел $(0, 0)$ отвечает равенству $Ax+By=0$, поскольку $А·0+В·0=0$.

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку ${М}_0(x_0, y_0)$, тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: $A{x}_0+B{y}_0+C=0$. Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C=0$, это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку ${М}_0(x_0, y_0)$ и имеет нормальный вектор $\overrightarrow{n}=(A, B)$.

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида $Ax+By+C=0$ к каноническому уравнению  $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$.

Если $А\ne 0$, тогда переносим слагаемое $By$ в правую часть общего уравнения. В левой части выносим $A$ за скобки. В итоге получаем: $A\left(x+\frac{C}{A}\right)=-By$.

Это равенство возможно записать как пропорцию: $\frac{x+{\displaystyle \frac{C}{A}}}{-B}=\frac{y}{A}$ .

В случае, если $В\ne 0$, оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое $Ax$, прочие переносим в правую часть, получаем: $Ax=-By-C$. Выносим $–В$ за скобки, тогда: $Ax=-B\left(y+\frac{C}{B}\right)$.

Перепишем равенство в виде пропорции: $\frac{x}{-B}=\frac{y+{\displaystyle \frac{C}{B}}}{A}$                             .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом $y=k·x+b$, но только тогда, когда $В\ne 0$. Для перехода в левой части оставляем слагаемое $By$, остальные переносятся в правую. Получим: $By=-Ax-C$. Разделим обе части полученного равенство на $B$, отличное от нуля: $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$.

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Чтобы осуществить такой переход, перенесем число $C$ в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на $–С$ и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных $x$ и $y$:

$$\begin{gathered} Ax+By+C=0\iff Ax+By=-C\iff \\ \iff \frac{A}{-C}x+\frac{B}{-C}y=1\iff \frac{x}{{\displaystyle \frac{-C}{A}}}+\frac{y}{{\displaystyle \frac{-C}{B}}}=1 \end{gathered}$$

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

$$\begin{gathered} \frac{x}{a}+\frac{y}{b}\iff \frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y-1=0\iff Ax+By+C=0 \\ y=kx+b\iff y-kx-b=0\iff Ax+By+C=0 \end{gathered}$$

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

$$\begin{gathered} \frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}\iff a_y·(x-x_1)=a_x(y-y_1)\iff \\ \iff a_{y}x-a_{x}y-a_y{x}_1+a_x{y}_1=0\iff Ax+By+C=0 \end{gathered}$$

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

$\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.\iff \frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}\iff Ax+By+C=0$

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$. Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.