Угол между пересекающимися прямыми: определение, примеры нахождения

31 декабря 2023
14 минут
8 106

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данный материал посвящен такому понятию, как угол между двумя пересекающимися прямыми. В первом пункте мы поясним, что он из себя представляет, и покажем его на иллюстрациях. Потом разберем, какими способами можно найти синус, косинус этого угла и сам угол (отдельно рассмотрим случаи с плоскостью и трехмерным пространством), приведем нужные формулы и покажем на примерах, как именно они применяются на практике.

Что такое угол между пересекающимися прямыми

Для того чтобы понять, что такое угол, образующийся при пересечении двух прямых, нам потребуется вспомнить само определение угла, перпендикулярности и точки пересечения.

Определение 1

Мы называем две прямые пересекающимися, если у них есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения двух прямых.

Каждая прямая разделяется точкой пересечения на лучи. Обе прямые при этом образуют $4$ угла, из которых два – вертикальные, а два – смежные. Если мы знаем меру одного из них, то можем определить и другие оставшиеся.

Допустим, нам известно, что один из углов равен $α$ . В таком случае угол, который является вертикальным по отношению к нему, тоже будет равен $α$ . Чтобы найти оставшиеся углы, нам надо вычислить разность $180 ° - α$ . Если $α$ будет равно $90$ градусам, то все углы будут прямыми. Пересекающиеся под прямым углом линии называются перпендикулярными (понятию перпендикулярности посвящена отдельная статья).

Взгляните на рисунок:

Что такое угол между пересекающимися прямыми

Перейдем к формулированию основного определения.

Определение 2

Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из $4$ -х углов, которые образуют две эти прямые.

Из определения нужно сделать важный вывод: размер угла в этом случае будет выражен любым действительным числом в интервале $(0, 90]$ . Если прямые являются перпендикулярными, то угол между ними в любом случае будет равен $90$ градусам.

Что такое угол между пересекающимися прямыми

Как найти угол между пересекающимися прямыми на плоскости

Умение находить меру угла между двумя пересекающимися прямыми полезно для решения многих практических задач. Метод решения можно выбрать из нескольких вариантов.

Для начала мы можем взять геометрические методы. Если нам известно что-то о дополнительных углах, то можно связать их с нужным нам углом, используя свойства равных или подобных фигур. Например, если мы знаем стороны треугольника и нужно вычислить угол между прямыми, на которых эти стороны расположены, то для решения нам подойдет теорема косинусов. Если у нас в условии есть прямоугольный треугольник, то для подсчетов нам также пригодится знание синуса, косинуса и тангенса угла.

Координатный метод тоже весьма удобен для решения задач такого типа. Поясним, как правильно его использовать.

У нас есть прямоугольная (декартова) система координат $O x y$ , в которой заданы две прямые. Обозначим их буквами $a$ и $b$ . Прямые при этом можно описать с помощью каких-либо уравнений. Исходные прямые имеют точку пересечения $M$ . Как определить искомый угол (обозначим его $α$ ) между этими прямыми?

Начнем с формулировки основного принципа нахождения угла в заданных условиях.

Нам известно, что с понятием прямой линии тесно связаны такие понятия, как направляющий и нормальный вектор. Если у нас есть уравнение некоторой прямой, из него можно взять координаты этих векторов. Мы можем сделать это сразу для двух пересекающихся прямых.

Угол, образуемый двумя пересекающимися прямыми, можно найти с помощью:

угла между направляющими векторами;
угла между нормальными векторами;
угла между нормальным вектором одной прямой и направляющим вектором другой.

Теперь рассмотрим каждый способ отдельно.

1. Допустим, что у нас есть прямая $a$ с направляющим вектором $\vec{a} = (a_{x}, a_{y})$ и прямая $b$ с направляющим вектором $\vec{b} (b_{x}, b_{y})$ . Теперь отложим два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от точки пересечения. После этого мы увидим, что они будут располагаться каждый на своей прямой. Тогда у нас есть четыре варианта их взаимного расположения. См. иллюстрацию:

Как найти угол между пересекающимися прямыми на плоскости

Если угол между двумя векторами не является тупым, то он и будет нужным нам углом между пересекающимися прямыми $a$ и $b$ . Если же он тупой, то искомый угол будет равен углу, смежному с углом $(\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ . Таким образом, $α = (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ в том случае, если $(\hat{\vec{a}, \vec{b}}) \leq 90 °$ , и $α = 180 ° - (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ , если $(\hat{\vec{a}, \vec{b}}) > 90 °$ .

Исходя из того, что косинусы равных углов равны, мы можем переписать получившиеся равенства так: $\cos α = \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ , если $(\hat{\vec{a}, \vec{b}}) \leq 90 °$ ; $\cos α = \cos (180 ° - (\hat{\vec{a}, \vec{b}})) = - \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ , если $(\hat{\vec{a}, \vec{b}}) > 90 °$ .

Во втором случае были использованы формулы приведения. Таким образом,

$\cos α \{\begin{cases} \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}), \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) \geq 0 \\ - \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}), \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \cos α = |\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})|$

Запишем последнюю формулу словами:

Определение 3

Косинус угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, будет равен модулю косинуса угла между его направляющими векторами.

Общий вид формулы косинуса угла между двумя векторами $\vec{a} = (a_{x}, a_{y})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y})$ выглядит так:

$\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{(\hat{\vec{a}, \vec{b}})}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_{x} \cdot b_{x} + a_{y·} b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2}}}$

Из нее мы можем вывести формулу косинуса угла между двумя заданными прямыми:

$\cos α = |\frac{a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2}}}| = \frac{|a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2}}}$

Тогда сам угол можно найти по следующей формуле:

$α = a r c \cos \frac{|a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} + b_{y}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2}}}$

Здесь $\vec{a} = (a_{x}, a_{y})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y})$ – это направляющие векторы заданных прямых.

Приведем пример решения задачи.

Пример 1

В прямоугольной системе координат на плоскости заданы две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ . Их можно описать параметрическими уравнениями $\{\begin{cases} x = 1 + 4 \cdot λ \\ y = 2 + λ \end{cases} λ \in R$ и $\frac{x}{5} = \frac{y - 6}{- 3}$ . Вычислите угол между этими прямыми.

Решение

У нас в условии есть параметрическое уравнение, значит, для этой прямой мы сразу можем записать координаты ее направляющего вектора. Для этого нам нужно взять значения коэффициентов при параметре, т.е. прямая $\{\begin{cases} x = 1 + 4 \cdot λ \\ y = 2 + λ \end{cases} λ \in R$ будет иметь направляющий вектор $\vec{a} = (4, 1)$ .

Вторая прямая описана с помощью канонического уравнения $\frac{x}{5} = \frac{y - 6}{- 3}$ . Здесь координаты мы можем взять из знаменателей. Таким образом, у этой прямой есть направляющий вектор $\vec{b} = (5, - 3)$ .

Далее переходим непосредственно к нахождению угла. Для этого просто подставляем имеющиеся координаты двух векторов в приведенную выше формулу $α = a r c \cos \frac{|a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} + b_{y}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2}}}$ . Получаем следующее:

$α = a r c \cos \frac{|4 \cdot 5 + 1 \cdot (- 3)|}{\sqrt{4^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{5^{2} + (- 3)^{2}}} = a r c \cos \frac{17}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{34}} = a r c \cos \frac{1}{\sqrt{2}} = 45 °$

Ответ: данные прямые образуют угол в $45$ градусов.

Мы можем решить подобную задачу с помощью нахождения угла между нормальными векторами. Если у нас есть прямая $a$ с нормальным вектором $\vec{n_{a}} = (n_{a x}, n_{a y})$ и прямая $b$ с нормальным вектором $\vec{n_{b}} = (n_{b x}, n_{b y})$ , то угол между ними будет равен углу между $\vec{n_{a}}$ и $\vec{n_{b}}$ либо углу, который будет смежным с $(\hat{\vec{n_{a}}, \vec{n_{b}}})$ . Этот способ показан на картинке:

Как найти угол между пересекающимися прямыми на плоскости

Формулы для вычисления косинуса угла между пересекающимися прямыми и самого этого угла с помощью координат нормальных векторов выглядят так:

$\cos α = |\cos (\hat{\vec{n_{a}}, \vec{n_{b}}})| = \frac{|n_{a x} \cdot n_{b x} + n_{a y} + n_{b y}|}{\sqrt{n_{a x}^{2} + n_{a y}^{2}} \cdot \sqrt{n_{b x}^{2} + n_{b y}^{2}}} α = a r c \cos \frac{|n_{a x} \cdot n_{b x} + n_{a y} + n_{b y}|}{\sqrt{n_{a x}^{2} + n_{a y}^{2}} \cdot \sqrt{n_{b x}^{2} + n_{b y}^{2}}}$

Здесь $\vec{n_{a}}$ и $\vec{n_{b}}$ обозначают нормальные векторы двух заданных прямых.

Пример 2

В прямоугольной системе координат заданы две прямые с помощью уравнений $3 x + 5 y - 30 = 0$ и $x + 4 y - 17 = 0$ . Найдите синус, косинус угла между ними и величину самого этого угла.

Решение

Исходные прямые заданы с помощью нормальных уравнений прямой вида $A x + B y + C = 0$ . Нормальный вектор обозначим $\vec{n} = (A, B)$ . Найдем координаты первого нормального вектора для одной прямой и запишем их: $\vec{n_{a}} = (3, 5)$ . Для второй прямой $x + 4 y - 17 = 0$ нормальный вектор будет иметь координаты $\vec{n_{b}} = (1, 4)$ . Теперь добавим полученные значения в формулу и подсчитаем итог:

$\cos α = |\cos (\hat{\vec{n_{a}}, \vec{n_{b}}})| = \frac{|3 \cdot 1 + 5 \cdot 4|}{\sqrt{3^{2} + 5^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 4^{2}}} = \frac{23}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{17}} = \frac{23 \sqrt{2}}{34}$

Если нам известен косинус угла, то мы можем вычислить его синус, используя основное тригонометрическое тождество. Поскольку угол $α$ , образованный прямыми, не является тупым, то $\sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} = \sqrt{1 - {(\frac{23 \sqrt{2}}{34})}^{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{34}$ .

В таком случае $α = a r c \cos \frac{23 \sqrt{2}}{34} = a r c \sin \frac{7 \sqrt{2}}{34}$ .

Ответ: $\cos α = \frac{23 \sqrt{2}}{34}, \sin α = \frac{7 \sqrt{2}}{34}, α = a r c \cos \frac{23 \sqrt{2}}{34} = a r c \sin \frac{7 \sqrt{2}}{34}$

Разберем последний случай – нахождение угла между прямыми, если нам известны координаты направляющего вектора одной прямой и нормального вектора другой.

Допустим, что прямая $a$ имеет направляющий вектор $\vec{a} = (a_{x}, a_{y})$ , а прямая $b$ – нормальный вектор $\vec{n_{b}} = (n_{b x}, n_{b y})$ . Нам надо отложить эти векторы от точки пересечения и рассмотреть все варианты их взаимного расположения. См. на картинке:

Как найти угол между пересекающимися прямыми на плоскости

Если величина угла между заданными векторами не более $90$ градусов, получается, что он будет дополнять угол между $a$ и $b$ до прямого угла.

$(\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) = 90 ° - α$ в том случае, если $(\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) \leq 90 °$ .

Если он менее $90$ градусов, то мы получим следующее:

$(\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) > 90 °$ , тогда $(\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) = 90 ° + α$

Используя правило равенства косинусов равных углов, запишем:

$\cos (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) = \cos (90 ° - α) = \sin α$ при $(\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) \leq 90 °$ .

$\cos (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) = \cos (90 ° + α) = - \sin α$ при $(\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) > 90 °$ .

Таким образом,

$\sin α = \{\begin{cases} \cos (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}), (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) \leq 90 ° \\ - \cos (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}), (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) > 90 ° \end{cases} \Leftrightarrow \sin α = \{\begin{cases} \cos (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}), (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) > 0 \\ - \cos (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}), (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}}) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \sin α = |\cos (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}})|$

Сформулируем вывод.

Определение 4

Чтобы найти синус угла между двумя прямыми, пересекающимися на плоскости, нужно вычислить модуль косинуса угла между направляющим вектором первой прямой и нормальным вектором второй.

Запишем необходимые формулы. Нахождение синуса угла:

$\sin α = |\cos (\hat{\vec{a}, \vec{n_{b}}})| = \frac{|a_{x} \cdot n_{b x} + a_{y} \cdot n_{b y}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \cdot \sqrt{n_{b x}^{2} + n_{b y}^{2}}}$

Нахождение самого угла:

$α = a r c \sin = \frac{|a_{x} \cdot n_{b x} + a_{y} \cdot n_{b y}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \cdot \sqrt{n_{b x}^{2} + n_{b y}^{2}}}$

Здесь $\vec{a}$ является направляющим вектором первой прямой, а $\vec{n_{b}}$ – нормальным вектором второй.

Пример 3

Две пересекающиеся прямые заданы уравнениями $\frac{x}{- 5} = \frac{y - 6}{3}$ и $x + 4 y - 17 = 0$ . Найдите угол пересечения.

Решение

Берем координаты направляющего и нормального вектора из заданных уравнений. Получается $\vec{a} = (- 5, 3)$ и ${\vec{n}}_{b} = (1, 4)$ . Берем формулу $α = a r c \sin = \frac{|a_{x} \cdot n_{b x} + a_{y} \cdot n_{b y}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \cdot \sqrt{n_{b x}^{2} + n_{b y}^{2}}}$ и считаем:

$α = a r c \sin = \frac{|- 5 \cdot 1 + 3 \cdot 4|}{\sqrt{(- 5)^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 4^{2}}} = a r c \sin \frac{7 \sqrt{2}}{34}$

Обратите внимание, что мы взяли уравнения из предыдущей задачи и получили точно такой же результат, но другим способом.

Ответ: $α = a r c \sin \frac{7 \sqrt{2}}{34}$

Приведем еще один способ нахождения нужного угла с помощью угловых коэффициентов заданных прямых.

У нас есть прямая $a$ , которая задана в прямоугольной системе координат с помощью уравнения $y = k_{1} \cdot x + b_{1}$ , и прямая $b$ , заданная как $y = k_{2} \cdot x + b_{2}$ . Это уравнения прямых с угловым коэффициентом. Чтобы найти угол пересечения, используем формулу:

$α = a r c \cos \frac{|k_{1} \cdot k_{2} + 1|}{\sqrt{k_{1}^{2} + 1} \cdot \sqrt{k_{2}^{2} + 1}}$ , где $k_{1}$ и $k_{2}$ являются угловыми коэффициентами заданных прямых. Для получения этой записи были использованы формулы определения угла через координаты нормальных векторов.

Пример 4

Есть две пересекающиеся на плоскости прямые, заданные уравнениями $y = - \frac{3}{5} x + 6$ и $y = - \frac{1}{4} x + \frac{17}{4}$ . Вычислите величину угла пересечения.

Решение

Угловые коэффициенты наших прямых равны $k_{1} = - \frac{3}{5}$ и $k_{2} = - \frac{1}{4}$ . Добавим их в формулу $α = a r c \cos \frac{|k_{1} \cdot k_{2} + 1|}{\sqrt{k_{1}^{2} + 1} \cdot \sqrt{k_{2}^{2} + 1}}$ и подсчитаем:

$α = a r c \cos \frac{|- \frac{3}{5} \cdot (- \frac{1}{4}) + 1|}{\sqrt{{(- \frac{3}{5})}^{2} + 1} \cdot \sqrt{{(- \frac{1}{4})}^{2} + 1}} = a r c \cos \frac{\frac{23}{20}}{\sqrt{\frac{34}{24}} \cdot \sqrt{\frac{17}{16}}} = a r c \cos \frac{23 \sqrt{2}}{34}$

Ответ: $α = a r c \cos \frac{23 \sqrt{2}}{34}$

В выводах этого пункта следует отметить, что приведенные здесь формулы нахождения угла не обязательно учить наизусть. Для этого достаточно знать координаты направляющих и/или нормальных векторов заданных прямых и уметь определять их по разным типам уравнений. А вот формулы для вычисления косинуса угла лучше запомнить или записать.

Как вычислить угол между пересекающимися прямыми в пространстве

Вычисление такого угла можно свести к вычислению координат направляющих векторов и определению величины угла, образованного этими векторами. Для таких примеров используются такие же рассуждения, которые мы приводили до этого.

Допустим, что у нас есть прямоугольная система координат, расположенная в трехмерном пространстве. В ней заданы две прямые $a$ и $b$ с точкой пересечения $M$ . Чтобы вычислить координаты направляющих векторов, нам нужно знать уравнения этих прямых. Обозначим направляющие векторы $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ . Для вычисления косинуса угла между ними воспользуемся формулой:

$\cos α = |\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})| = \frac{|(\vec{a}, \vec{b})|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{|a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}}$

Для нахождения самого угла нам понадобится эта формула:

$α = a r c \cos \frac{|a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}|}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}}$

Пример 5

У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения $\frac{x}{1} = \frac{y}{- \sqrt{3}} = \frac{z + \sqrt{3}}{- 2}$ . Известно, что она пересекается с осью $O z$ . Вычислите угол пересечения и косинус этого угла.

Решение

Обозначим угол, который надо вычислить, буквой $α$ . Запишем координаты направляющего вектора для первой прямой – $\vec{a} = (1, - \sqrt{3}, - 2)$ . Для оси аппликат мы можем взять координатный вектор $\vec{k} = (0, 0, 1)$ в качестве направляющего. Мы получили необходимые данные и можем добавить их в нужную формулу:

$\cos α = |\cos (\hat{\vec{a}, \vec{k}})| = \frac{|(\vec{a}, \vec{k})|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|1 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot 0 - 2 \cdot 1|}{\sqrt{1^{2} + (- \sqrt{3})^{2} + (- 2)^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

В итоге мы получили, что нужный нам угол будет равен $a r c \cos \frac{1}{\sqrt{2}} = 45 °$ .

Ответ: $\cos α = \frac{1}{\sqrt{2}}, α = 45 °$ .