Обозначение, запись и изображение числовых множеств

Из большого количества разнообразных множеств особо интересными и важными являются числовые множества, т.е. те множества, элементами которых служат числа. Очевидно, что для работы с числовыми множествами необходимо иметь навык записи их, а также изображения их на координатной прямой.

Запись числовых множеств

Общепринятым обозначением любых множеств являются заглавные буквы латиницы. Числовые множества – не исключение. К примеру, мы можем говорить о числовых множествах $B$, $F$ или $S$ и т.п. Однако есть также общепринятая маркировка числовых множеств в зависимости от входящих в него элементов:

$N$ – множество всех натуральных чисел; $Z$ – множество целых чисел; $Q$ – множество рациональных чисел; $J$ – множество иррациональных чисел; $R$ – множество действительных чисел; $C$ – множество комплексных чисел.

Становится понятным, что обозначение, например, множества, состоящего из двух чисел: $-3, 8$ буквой $J$ может ввести в заблуждение, поскольку этой буквой маркируется множество иррациональных чисел. Поэтому для обозначения множества $-3, 8$ более подходящим будет использование какой-то нейтральной буквы: $A$ или $B$, например.

Напомним также следующие обозначения:

• $\varnothing$ – пустое множество или множество, не имеющее составных элементов;
• $\in$ или $\notin$ - знак принадлежности или непринадлежности элемента множеству. Например, запись $5 \in N$ обозначает, что число $5$ является частью множества всех натуральных чисел. Запись $-7,1 \in Z$ отражает тот факт, что число $-7,1$ не является элементом множества $Z$, т.к. $Z$– множество целых чисел;
• знаки принадлежности множества множеству:
  $\subset$ или $\supset$ - знаки «включено» или «включает» соответственно. Например, запись $A\subset Z$ означает, что все элементы множества $А$ входят в множество $Z$, т.е. числовое множество $A$ включено в множество $Z$. Или наоборот, запись$Z\supset A$ пояснит, что множество всех целых чисел $Z$ включает множество $A$.
  $\subseteq$ или $\supseteq$ - знаки так называемого нестрогого включения. Означают «включено или совпадает» и «включает или совпадает» соответственно.

Рассмотрим теперь схему описания числовых множеств на примере основных стандартных случаев, наиболее часто используемых на практике.

Первыми рассмотрим числовые множества, содержащие конечное и небольшое количество элементов. Описание подобного множества удобно составлять, просто перечисляя все его элементы. Элементы в виде чисел записываются, разделяясь запятой, и заключаются в фигурные скобки (что соответствует общим правилам описания множеств). К примеру, множество из чисел $8, -17, 0,15$ запишем как $\{8, -17, 0,15\}$.

Случается, что количество элементов множества достаточно велико, но все они подчиняются определенной закономерности: тогда в описании множества используют многоточие. К примеру, множество всех четных чисел от $2$ до $88$ запишем как:$\{2, 4, 6, 8, \dots , 88\}$.

Теперь поговорим об описании числовых множеств, в которых количество элементов бесконечно. Иногда их описывают при помощи того же многоточия. Например, множество всех натуральных чисел запишем так: $N = \{1, 2, 3, \dots \}$.

Также возможно записать числовое множество с бесконечным количеством элементов при помощи указания свойств его элементов. Применяют при этом обозначение $\left\{х\right| \mathrm{свойства}\}$. К примеру, $\left\{n\right| 8·n + 3, n\in N\}$ определяет множество натуральных чисел, которые при делении на $8$ дадут остаток $3$. Это же множество возможно записать как: $\{11, 19, 27, \dots \}$.

В частных случаях числовые множества с бесконечным количеством элементов – это общеизвестные множества $N, Z, R$ и т.д., либо числовые промежутки. Но в основном числовые множества представляют собой объединение составляющих их числовых промежутков и числовых множеств с конечным количеством элементов (о них мы говорили в самом начале статьи).

Рассмотрим на примере. Допустим, составляющими некого числового множества являются числа $-15, -8, -7,34, 0,$ а также все числа отрезка $[-6, -1,2]$ и числа открытого числового луча $(6, +\infty )$. В соответствии с определением объединения множеств заданное числовое множество запишем как: $\{-15, -8, -7,34\}\cup [-6, -1,2]\cup \left\{0\right\}\cup (6, +\infty )$. Подобная запись фактически означает множество, включающее в себя все элементы множеств $\{-15, -8, -7,34, 0\}, [-6, -1,2]$ и $(6, +\infty )$.

Таким же образом, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, возможно дать описание любому числовому множеству, состоящему из действительных чисел. На основе сказанного становится понятно, для чего вводятся различные виды числовых промежутков, такие как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч. Все эти виды промежутков совместно с обозначениями множеств отдельных чисел дают возможность через их объединение описать любое числовое множество.

Необходимо также обратить внимание на то, что отдельные числа и числовые промежутки при записи множества могут быть упорядочены по возрастанию. В общем, это не является обязательным требованием, однако подобное упорядочивание позволяет представить числовое множество проще, а также верно отобразить его на координатной прямой. Также стоит уточнить, что в таких записях не применяют числовые промежутки с общими элементами, поскольку эти записи возможно заменить объединением числовых промежутков, исключив общие элементы. К примеру, объединением числовых множеств с общими элементами $[-15, 0]$ и $(-6,4)$ будет полуинтервал$[-15, 4)$. То же имеет отношение и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами. Например, объединение $(4, 7]\cup (7, 9]$ является множеством $(4, 9]$. Этот пункт подробно будет рассмотрен в теме нахождения пересечения и объединения числовых множеств.

Изображение числовых множеств на координатной прямой

В практических примерах удобно использовать геометрическое толкование числовых множеств – их изображение на координатной прямой. К примеру, такой способ поможет при решении неравенств, в которых нужно учесть ОДЗ – когда нужно отобразить числовые множества, чтобы определить их объединение и/или пересечение.

Мы знаем, что между точками координатной прямой и действительными числами имеется однозначное соответствие: вся координатная прямая есть геометрическая модель множества всех действительных чисел $R$. Следовательно, для изображения множества всех действительных чисел начертим координатную прямую и нанесем штриховку на всем ее протяжении:

Зачастую и не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Рассмотрим изображение числовых множеств, состоящих из конечного количества отдельных чисел. К примеру, отобразим числовое множество $\{-2, -0,5, 1,2\}$. Геометрической моделью заданного множества станут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

В большинстве случаев возможно не соблюдать абсолютную точность чертежа: вполне достаточно схематичного изображения без соблюдения масштаба, но с сохранением взаимного расположения точек относительно друг друга, т.е. любая точка с бОльшей координатой должна быть правее точки с меньшей. С учётом сказанного уже имеющийся чертеж может выглядеть так:

Отдельно из возможных числовых множеств выделяют числовые промежутки интервалы, полуинтервалы, лучи и пр.)

Теперь рассмотрим принцип изображения числовых множеств, являющихся объединением нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих их отдельных чисел. В этом нет никакой сложности: согласно определению объединения на координатной прямой необходимо отобразить все составляющие множества заданного числового множества. Например, создадим иллюстрацию числового множества $(-\infty , -15)\cup \{-10\}\cup [-3, 1)\cup \{{\log }_{2}5, 5\}\cup (17, +\infty )$.

Также довольно распространены случаи, когда числовое множество, которое необходимо изобразить, включает в себя все множество действительных чисел кроме одной или нескольких точек. Подобные множества часто задаются условиями вроде $х \ne 5$ или $х \ne -1$ и т.п. В таких случаях множества в своей геометрической модели являются всей координатной прямой за исключением заданных точек. Общепринято говорить, что эти точки необходимо «выколоть» из координатной прямой. Изображается выколотая точка кружочком с пустым центром. Чтобы подкрепить сказанное практическим примером, отобразим на координатной прямой множество с заданным условием $х \ne -2$и $х \ne \sqrt{3}$:

Информация, приведенная в данной статье, призвана помочь получить навык видеть запись и изображение числовых множеств так же легко, как и отдельных числовых промежутков. В идеале записанное числовое множество сразу должно представляться в виде геометрического образа на координатной прямой. И наоборот: по изображению должно с легкостью формироваться соответствующее числовое множество через объединение числовых промежутков и множеств, являющихся отдельными числами.