Системы неравенств: определение, виды, примеры решения

Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся  примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.

Определение системы неравенств

Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.

Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства $2·x-3>0$ и $5-x\ge 4·x-11$. Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:

$\left\{\begin{array}{l}2·x-3>0,\\ 5-x\ge 4·x-11\end{array}\right.$

Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.

Основные виды системы неравенств

Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:

• количество неравенств системы;
• количество переменных записи;
• вид неравенств.

Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.

$\left\{\begin{array}{l}2·x-3>0,\\ 5-x\ge 4·x-11\end{array}\right.$

Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.

$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x\ge -2,\\ y\le 5,\end{array}\\ \begin{array}{l}x+y+z\ge 3,\\ z\le \sqrt{1-x^2-4·y^2}\end{array}\end{array}\right.$

Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.

Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: $x, y, z$. Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство $x+0·y+0·z\ge -2$ и $0·x+y+0·z\le 5$ не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.

При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{544-4^{-x}}{32-2^{-x}}\ge 17,\\ {\log }_{\frac{x^2}{16}}\left(\frac{x+20}{16}\right)\le 1\end{array}\right.$

Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.

Решение системы неравенств

Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.

$\left\{\begin{array}{l}x>7,\\ 2-3·x\le 0\end{array}\right.$

Если значение $х=8$, то решение системы очевидно, так как выполняется $8>7$ и $2-3·8\le 0$. При $х=1$ система не решится, так как первое числовое неравенство во время подстановки имеет $1>7$. Таким же образом решается система с двумя и более переменными.

Если$х=1$ и $у=2$ будет решением неравенства $\left\{\begin{array}{l}x+y<7\\ x-y<0\end{array}\right.$, потому как выражения$1+2<7$ и $1-2<0$ верны. Если подставить числовую пару $(3, 5, 3)$, тогда система не даст значения переменных и неравенство  будет неверным $3,5-3<0$.

При решении системы неравенств могут давать определенное количество ответов, а могут и бесконечное.  Имеется ввиду множество решений такой системы. При отсутствии решений говорят о том, что она имеет пустое множество решений. Если решение имеет определенное число, тогда множества решений имеет конечное число элементов. Если решений много, тогда множество решений содержит бесконечное множество чисел.

Некоторые учебники дают определение частного решения системы неравенств, которое понимается как отдельно взятое решение. А общим решением системы неравенств считают все его частные решения. Такое определение используется редко, поэтому говорят «решение системы неравенств».

Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.