Линейные неравенства, примеры, решения

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения.  Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным $0$, тогда строгое неравенство вида $0·x>c$ и $0·x<c$ может быть записано в виде нестрогого, а именно, $a·x\le c$, $a·x\ge c$. Такое уравнение считается линейным.

Их различия заключаются в:

• форме записи $a·x+b>0$ в первом, и $a·x>c$ – во втором;
• допустимости равенства нулю коэффициента $a$, $a\ne 0$ - в первом, и $a=0$ - во втором.

Считается, что неравенства $a·x+b>0$ и $a·x>c$ равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства $0·x+5>0$ приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем  случай $а=0$ не подойдет.

Исходя из правила, имеем, что $4·x-1>0, 0·z+2,3\le 0, -\frac{2}{3}·x-\sqrt{2}<0$ являются примерами линейных неравенств.  А неравенства такого плана, как $5·x>7, -0,5·y\le -1,2$ называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства $x<p (\le , >, \ge ), p$ являющееся некоторым числом, при $a\ne 0$, а вида $a<p (\le , >, \ge )$ при $а=0$.

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида $a·x+b<0 (\le , >, \ge )$, необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из $3$ пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Рассмотрим случай, когда $а=0$. Линейное выражение вида $a·x+b<0$ является неравенством $0·x+b<0$, где на рассмотрение берется неравенство вида $b<0$, после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении $x$ получаем числовое неравенство вида $b<0$, потому что при подстановке любого $t$ вместо переменной $x$, тогда получаем $0·t+b<0$, где $b<0$. В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда $b<0$ неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств $0·x+b<0 (\le , >, \ge )$:

Рассмотрим решение линейных неравенств , где оба коэффициента равняется нулю.

Методом интервалов

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента $x$ не равному $0$. Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений $a·x+b<0 (\le , >, \ge )$ при $a\ne 0$ с помощью метода интервалов:

• нахождение нулей функции $y=a·x+b$, чтобы решить уравнение вида $a·x+b=0$. Если $a\ne 0$, тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение ${х}_0$;
• построение координатной прямой с изображением точки с координатой ${х}_0$, при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
• определение знаков функции $y=a·x+b$ на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
• решение неравенства со знаками $>$ или $\ge$ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, $<$ или $\le$ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Графическим способом

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть  на примере $4$ линейных неравенства: $0,5·x-1<0, 0,5·x-1\le 0, 0,5·x-1>0$ и $0,5·x-1\ge 0$. Их решениями будут значения $x<2, x\le 2, x>2$ и $x\ge 2$. Для этого изобразим график линейной функции $y=0,5·x-1$, приведенный ниже.

Видно, что

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет $y=a·x+b$, а правая – $y=0$, причем совпадает с $Ох$.

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции $y=0·x+b$, то есть $y=b$. Тогда прямая будет параллельна $Ох$ или совпадающей при $b=0$. Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что $5-2·x>0, 7·(x-1)+3\le 4·x-2+x, \frac{x-3}{5}-2·\left(x+1\right)>\frac{2}{7}·x$.

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки  и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства $5-2·x>0$ к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид $-2·x+5>0$, а для приведения второго получаем, что $7·(x-1)+3\le 4·x-2+x$. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

$7·x-7+3\le 4·x-2+x 7·x-4\le 5·x-2 7·x-4-5·x+2\le 0 2·x-2\le 0$

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства  такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, $5^{2·x-1}\ge 1$ является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида $2·x-1\ge 0$. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.