Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Решение кубических уравнений
Содержание:
- 26 марта 2023
- 7 минут
- 10647
Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.
Решение двучленного кубического уравнения вида
Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид . Его необходимо приводить к с помощью деления на , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что
Результат первой скобки примет вид , а квадратный трехчлен - , причем только с комплексными корнями.
Решение возвратного кубического уравнения вида
Вид квадратного уравнения - , где значения и являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что
Корень уравнения равен , тогда для получения корней квадратного трехчлена необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.
Решение кубических уравнений с рациональными корнями
Если , то он является корнем уравнения вида . При свободном члене уравнение принимает вид . При вынесении за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид .
Когда коэффициенты уравнения целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если , тогда при умножении на обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть :
Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида . Необходимо произвести деление многочлена на . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.
Найти корни заданного уравнения .
Решение
Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на обеих частей, причем с заменой переменной типа . Получаем, что
Свободный член равняется , тогда необходимо зафиксировать все его делители:
Необходимо произвести подстановку , чтобы получить тождество вида
Отсюда видим, что – это корень. Значит, .
Далее следует деление на при помощи схемы Горнера:
Коэффициенты многочлена | ||||
---|---|---|---|---|
Имеем, что
После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида . Имеем, что уравнение следует привести к виду , где будет его корнем.
Ответ: .
Решение кубических уравнений по формуле Кардано
Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При необходимо найти .
После чего и .
Полученные и в формулу Кардано. Получим, что
Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению . Тогда корни исходного уравнения . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.
При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений степени методом Феррари.
Навигация по статьям