Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Уравнение и его корни: определения, примеры
Содержание:
- 19 октября 2023
- 8 минут
- 2105
После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.
Понятие уравнения
Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:
Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, др., но чаще всего используются . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.
Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида , и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, .
После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся , и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, или .
Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.
В программе за класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:
То есть, к примеру, выражение – это уравнение с переменной , а – уравнение с переменной .
В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:
К примеру, равенство вида является уравнением с одной переменной , а – уравнением с двумя переменными и . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение .
Корень уравнения
Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.
Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.
Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.
Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.
Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на всегда дает .
Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня и , то пишем - или .
Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой , а корнями являются и , то мы пишем и . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается , целых – , действительных – . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что , а если любое действительное от единицы до девяти, то .
Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.
Поясним определение на примерах.
Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как .
На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.
Навигация по статьям