Формулы половинного угла в тригонометрии

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла , так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла $\frac{\alpha }{2}$ при помощи тригонометрических функций угла $\alpha$. В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.

Список формул половинного угла

Стандартные формулы половинного угла:

$$\begin{gathered} {\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2} \\ {\cos }^2\frac{{\displaystyle \alpha }}{{\displaystyle 2}}=\frac{{\displaystyle 1+\cos \alpha }}{{\displaystyle 2}} \\ t{g}^2\frac{{\displaystyle \alpha }}{{\displaystyle 2}}=\frac{{\displaystyle 1-\cos \alpha }}{{\displaystyle 1+\cos \alpha }} \\ ct{g}^2\frac{{\displaystyle \alpha }}{{\displaystyle 2}}=\frac{{\displaystyle 1+\cos \alpha }}{{\displaystyle 1-\cos \alpha }} \end{gathered}$$

Формулы для $\sin$ и $\cos$ половинного угла справедливы при любом значении заданного угла $\alpha$. Формулу для $tg$ любого угла $\alpha$определяет $tg\frac{\alpha }{2}$, значение угла $\alpha \ne \pi +2\pi ·z$ при $z$ равном любому целому числу ( выражение $1+\cos \alpha$ с таким же значением $\alpha$ не должно принимать значение $0$). Формула $ctg$ угла считается справедливой для любого угла $\alpha$, где половинный угол имеет место быть, $\alpha \ne 2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}$.

Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:

$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}, \cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}, tg\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }, ctg\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}$

Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла $\frac{\alpha }{2}$.

Применим формулы на практике.

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла основывается на формулах $\cos$ двойного угла $\cos \alpha =1-2·{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$ и $\cos \alpha =2·{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1$. Упростив первое выражение по ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}$, получим саму формулу половинного угла ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$, второе выражение по ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}$ получим ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$.

Чтобы доказать формулы половинного угла для $tg$ и $ctg$ угла $\frac{\alpha }{2}$, необходимо применить основные тригонометрические тождества $tg\frac{\alpha }{2}=\frac{\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}$ и $ctg\frac{\alpha }{2}=\frac{{\displaystyle \cos \frac{\alpha }{2}}}{{\displaystyle \sin \frac{\alpha }{2}}}$, к ним необходимо добавить формулы половинного угла$\cos$ и $\sin$, которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:

$$\begin{gathered} t{g}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{{\sin }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{{\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{2}}}{{\displaystyle \frac{1+\cos \alpha }{2}}}=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }; \\ ct{g}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{{\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{{\sin }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{2}}}{{\displaystyle \frac{1+\cos \alpha }{2}}}=\frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }; \end{gathered}$$

Все формулы половинного угла были доказаны.

Примеры использования

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида $\frac{\alpha }{2}$ и $\alpha$, а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом ${\sin }^{2}7\alpha =\frac{1-\cos 14\alpha }{2}$ или ${\sin }^2 \frac{5\alpha }{17}=\frac{1-\cos {\displaystyle \frac{10\alpha }{17}}}{2}$, то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Все формулы половинного угла в тригонометрии: