Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

$$\begin{gathered} для \alpha \in \left[-1, 1\right] \sin (arccis \alpha )=\alpha , \cos (arc\cos \alpha )=\alpha , \\ для \alpha \in (-\infty , \infty ) tg(arctg \alpha )=\alpha , ctg(arcctg \alpha )=\alpha \end{gathered}$$

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

$$\begin{gathered} для -\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le \alpha \le \frac{\mathrm{\pi }}{2} arc\sin (\sin \alpha )=\alpha , \\ для 0\le \alpha \le \mathrm{\pi } \arccos (\cos \mathrm{\alpha })=\mathrm{\alpha }, \\ для -\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\mathrm{\alpha }<\frac{\mathrm{\pi }}{2} \mathrm{arctg} (\mathrm{tg} \mathrm{\alpha })=\mathrm{\alpha }, \\ для 0<\mathrm{\alpha }<\mathrm{\pi } \mathrm{arcctg} (\mathrm{ctg} \mathrm{\alpha })=\mathrm{\alpha } \end{gathered}$$

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

$$\begin{gathered} для \alpha \in \left[-1, 1\right] arccis (-\alpha )=-arc\sin \alpha , arc\cos (-\alpha )=\pi -arc\cos \alpha , \\ для \alpha \in (-\infty , \infty ) arctg (-\alpha )=-arctg \alpha , arcctg (-\alpha )=\mathrm{\pi }-\mathrm{arcctg} \mathrm{\alpha } \end{gathered}$$

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

$$\begin{gathered} для \alpha \in \left[-1, 1\right] arccis \alpha +arc\cos \alpha =\frac{\pi }{2}, \\ для \alpha \in (-\infty , \infty ) arctg \alpha +arcctg \alpha =\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций - косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ 1+ct{g}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha } \end{gathered}$$

Вспомним, что $tg\alpha ·ctg\alpha =1$. Из этого можно получить:

$$\begin{gathered} \sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }, 0\le \alpha \le \pi \\ \sin \alpha =\frac{tg\alpha }{\sqrt{1+t{g}^2\alpha }}, -\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2} \\ \sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+ct{g}^2\alpha }}, 0<\alpha <\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог - формула синуса арккосинуса.

Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

1. $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }, 0\le \alpha \le \mathrm{\pi }$

Следовательно, $\sin \left(arc\cos \alpha \right)=\sqrt{1-{\cos }^2\left(arc\cos \alpha \right)}=\sqrt{1-a^2}$

2. $\sin \alpha =\frac{tg\alpha }{\sqrt{1+tg\alpha }}, -\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$,

Следовательно, $\sin \left(arctg\alpha \right)=\frac{tg\left(arctg\alpha \right)}{\sqrt{1+t{g}^2\left(arctg\alpha \right)}}=\frac{\alpha }{\sqrt{1+{\alpha }^2}}$

3. $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+ct{g}^2\alpha }}, 0<\alpha <\mathrm{\pi }$

Следовательно, $\sin \left(arctg\alpha \right)=\frac{1}{\sqrt{1+t{g}^2\left(arctg\alpha \right)}}=\frac{1}{\sqrt{1+{\alpha }^2}}$

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

1. Из $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }, -\frac{\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\mathrm{\pi }}{2}$ следует, что

$\cos (arc\sin \alpha )=\sqrt{1-{\sin }^2(arc\sin \alpha )}=\sqrt{1-a^2}$

2. Из $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+t{g}^2\alpha }}, -\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$ следует, что
3. Из $$\begin{gathered} \cos \alpha =\frac{ctg\alpha }{\sqrt{1+}ct{g}^2\alpha }, 0<\alpha <\pi \\ \cos \left(arctg\alpha \right)=\frac{1}{\sqrt{1+t{g}^2\left(arctg\alpha \right)}}=\frac{1}{\sqrt{1+{\alpha }^2}} \end{gathered}$$

следует, что $\cos \left(arctg\alpha \right)=\frac{ctg\left(arcctg\alpha \right)}{\sqrt{1+ct{g}^2\left(arcctg\alpha \right)}}=\frac{\alpha }{\sqrt{1+{\alpha }^2}}$

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

1. Исходим из $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }}, -\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Получаем $tg(arc\sin \alpha )=\frac{\sin \left(arc\sin \alpha \right)}{\sqrt{1-{\sin }^2\left(arc\sin \alpha \right)}}=\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}$ при условии, что $-1<\alpha <1$.
2. Исходим из $tg\alpha =\frac{\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }}{\cos \alpha }, \alpha \in [0, \frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2}, \pi ]$, получаем

$tg\left(arc\cos \alpha \right)=\frac{\sqrt{1-{\cos }^2\left(arc\cos \alpha \right)}}{\cos \left(arcc\mathrm{os}\alpha \right)}=\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}}{\alpha }$ при условии $\alpha \in (-1, 0)\cup (0, 1)$.

3. Исходим из $tg\alpha =\frac{1}{ctg\alpha }, \alpha \in (0, \frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2}, \pi )$, получаем $tg\left(arcctg\alpha \right)=\frac{1}{ctg\left(arcctg\alpha \right)}=\frac{1}{\alpha }$ при условии, что $\alpha \ne 0$.

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

$ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }$

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

$$\begin{gathered} arc\sin \alpha =\left\{\begin{array}{l}arc\cos \sqrt{1-{\alpha }^2}, 0\le \alpha \le 1\\ -arc\cos \sqrt{1-a^2}, -1\le \alpha <0\end{array}\right. \\ arc\sin \alpha =arctg\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}, -1<\alpha <1 \\ arc\sin \alpha =\left\{\begin{array}{l}arcctg\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}}{\alpha }, 0<\alpha \le 1\\ arcctg\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}}{\alpha }-\pi , -1\le \alpha \le 0\end{array}\right. \end{gathered}$$

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

$$\begin{gathered} arc\cos \alpha =\left\{\begin{array}{l}arc\sin \sqrt{1-{\alpha }^2}, 0\le \alpha \le 1\\ \mathrm{\pi }-\arcsin \sqrt{1-{\mathrm{\alpha }}^2}, -1\le \mathrm{\alpha }<0\end{array}\right. \\ arc\cos \alpha =\left\{\begin{array}{l}arctg\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}}{\alpha }, 0<\alpha \le 1\\ \mathrm{\pi }+\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{1-{\mathrm{\alpha }}^2}}{\mathrm{\alpha }}, -1<\mathrm{\alpha }<0\end{array}\right. \\ \mathrm{arccos\alpha }=\mathrm{arcctg}\frac{\mathrm{\alpha }}{\sqrt{1-{\mathrm{\alpha }}^2}}, -1<\mathrm{\alpha }<1 \end{gathered}$$

Формула выражения арктангенса:

$$\begin{gathered} arctg\alpha =arc\sin \frac{\alpha }{\sqrt{1+{\alpha }^2}}, -\infty <\alpha <+\infty \\ arctg\alpha =\left\{\begin{array}{l}arc\cos \frac{1}{\sqrt{1+{\alpha }^2}}, \alpha \ge 0\\ -arc\cos \frac{1}{\sqrt{1+{\alpha }^2}}, \alpha <0\end{array}\right. \\ arctg\alpha =arcctg\frac{1}{\alpha }, \alpha \ne 0 \end{gathered}$$

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

$$\begin{gathered} arcctg\alpha =\left\{\begin{array}{l}arc\sin \frac{1}{\sqrt{1+{\alpha }^2}}, \alpha \ge 0\\ \pi -arc\sin \frac{1}{\sqrt{1+{\alpha }^2}}, \alpha <0\end{array}\right. \\ arcctg\alpha =arc\cos \frac{\alpha }{\sqrt{1+{\alpha }^2}}, -\infty <\alpha <+\infty \\ arcctg\alpha =arctg\frac{1}{\alpha }, \alpha \ne 0 \end{gathered}$$

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём $arc\sin \alpha =arctg\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}, -1<\alpha <1$ и постараемся вывести доказательство.

Мы знаем, что $arctg\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}$ - это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

$\sin \left(arctg\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\right)=\frac{{\displaystyle \frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}}}{\sqrt{1+({\displaystyle \frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}}{)}^2}}=\frac{{\displaystyle \frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}}}{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{1-{\alpha }^2}}}}=\frac{{\displaystyle \frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}}}{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{1-{\alpha }^2}}}}=\frac{{\displaystyle \frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}}}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\alpha }^2}}}}=\alpha$

Получается, что $arctg\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}$ при условии $1<a<1$ – это и есть арксинус числа $a$.

Вывод: $arc\sin a=arctg\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}, -1<a<1$

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

$\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

$\sin \frac{arc\cos \alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \left(arc\cos \alpha \right)}{2}}\iff \sin \frac{arc\cos \alpha }{2}=\frac{\sqrt{1-\alpha }}{2}$

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

$\frac{arc\cos \alpha }{2}=arc\sin \sqrt{\frac{1-\alpha }{2}}$

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.