Нахождение координат вектора через координаты точек

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора $\overrightarrow{i}$ должно совпадать с осью $Ox$, а направление вектора $\overrightarrow{j}$ с осью $Oy$.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор $\overrightarrow{p}$ можно разложить по векторам $\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$. Коэффициенты $x$ и $y$ определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора $\overrightarrow{p}$ по координатным векторам называются координатами вектора $\overrightarrow{p}$ в данной системе координат.

Координаты вектора записываются в фигурных скобках $\overrightarrow{p}\left\{x; y\right\}$. На рисунке вектор $\overrightarrow{OA}$ имеет координаты $\left\{2; 1\right\}$, а вектор $\overrightarrow{b}$ имеет координаты $\left\{3;-2\right\}$. Нулевой вектор представляется в виде $\overrightarrow{0}\left\{0; 0\right\}$.

Если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны, то и $y_1=y_2$. Запишем это так: $\overrightarrow{a}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}=\overrightarrow{b}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}$, значит $x_1=x_2, y_1=y_2$ .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на $Oxy$ заданы координаты точек начала и конца $\overrightarrow{AB}: A\left\{x_a, y_a\right\}, B\left\{x_b, y_b\right\}$. Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Из формулы сложения векторов имеем $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$, где $O$ – начало координат. Отсюда следует, что $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$.

$\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения $\overrightarrow{OA}=\left\{x_a, y_a\right\}, \overrightarrow{OB}=\left\{x_b, y_b\right\}$.

По правилу операций над векторами найдем $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(x_b-x_a, y_b-y_a\right)$.

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.