Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора должно совпадать с осью , а направление вектора с осью .
Векторы и называют координатными векторами.
Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор можно разложить по векторам . Коэффициенты и определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.
Координаты вектора записываются в фигурных скобках . На рисунке вектор имеет координаты , а вектор имеет координаты . Нулевой вектор представляется в виде .
Если векторы и равны, то и . Запишем это так: , значит .
Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.
Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на заданы координаты точек начала и конца . Найти координаты заданного вектора.
Изобразим координатную ось.
Из формулы сложения векторов имеем , где – начало координат. Отсюда следует, что .
и – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения .
По правилу операций над векторами найдем .
Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.
Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.
Найти координаты и при значении координат точек .
Решение
Для начала определяется радиус-вектор точки . . Чтобы найти , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.
Получаем: .
Ответ:
Задано трехмерное пространство с точкой . Найти координаты конца .
Решение
Подставляем координаты точки : .
По условию известно, что .
Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений:
Отсюда следует, что координаты точки равны:
Ответ:
