Основное свойство алгебраической дроби: формулировка, доказательство, примеры применения

При изучении обыкновенных дробей, сталкиваемся с понятиями основного свойства дроби. Формулировка упрощенного вида необходима для решения примеров с обыкновенными дробями. Данная статья предполагает рассматривание алгебраических дробей и применение к ним основного свойства, которое будет сформулировано с приведением примеров области его применения.

Формулировка и обоснование

Основное свойство дроби имеет формулировку вида:

Определение 1

При одновременном умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби остается неизменным.

То есть, получаем, что $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ и $\frac{a : m}{b : m} = \frac{a}{b}$ равнозначны, где $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a : m}{b : m}$ считаются справедливыми. Значения $a, b, m$ являются некоторыми натуральными числами.

Деление числителя и знаменателя на число можно изобразить в виде $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ . Это аналогично решению примера $\frac{8}{12} = \frac{8 : 4}{12 : 4} = \frac{2}{3}$ . При делении используется равенство вида $\frac{a : m}{b : m} = \frac{a}{b}$ , тогда $\frac{8}{12} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{2}{3}$ . Его же можно представить в виде $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ , то есть $\frac{8}{12} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{2}{3}$ .

То есть, основное свойство дроби $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}$ будем рассматривать подробно в отличие от $\frac{a : m}{b : m} = \frac{a}{b}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a : m}{b : m}$ .

Если в числителе и знаменателе имеются действительные числа, тогда свойство применимо. Предварительно следует доказать справедливость записанного неравенства для всех чисел. То есть, доказать существование $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ для всех действительных $a, b, m$ , где $b$ и $m$ являются отличными от нуля значениями во избежание деления на ноль.

Доказательство 1

Пусть дробь вида $\frac{a}{b}$ считается частью записи $z$ , иначе говоря, $\frac{a}{b} = z$ , тогда необходимо доказать, что $\frac{a \cdot m}{b \cdot m}$ отвечает $z$ , то есть доказать $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = z$ . Тогда это позволит доказать существование равенства $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ .

Черта дроби означает знак деления. Применив связь с умножением и делением, получим, что из $\frac{a}{b} = z$ после преобразования получаем $a = b \cdot z$ . По свойствам числовых неравенств следует произвести умножение обеих частей неравенства на число, отличное от нуля. Тогда произведем умножение на число m, получаем, что $a \cdot m = (b \cdot z) \cdot m$ . По свойству имеем право записать выражение в виде $a \cdot m = (b \cdot m) \cdot z$ . Значит, из определения следует, что $\frac{a}{b} = z$ . Вот и все доказательство выражения $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ .

Равенства вида $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}$ имеют смысл, когда вместо $a, b, m$ будут многочлены, причем вместо $b$ и $m$ – ненулевые.

Основное свойство алгебраической дроби: когда одновременно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, получим тождественно равное исходному выражение.

Свойство считается справедливым, так как действия с многочленами соответствуют действиям с числами.

Замечание 1

Рассмотрим на примере дроби $\frac{3 \cdot x}{x^{2} - x y + 4 \cdot y^{3}}$ . Возможно преобразование к виду $\frac{3 \cdot x \cdot (x^{2} + 2 \cdot x \cdot y)}{(x^{2} - x y + 4 \cdot y^{3}) \cdot (x^{2} + 2 \cdot x \cdot y) .}$

Было произведено умножение на многочлен $x^{2} + 2 \cdot x \cdot y$ . Таким же образом основное свойство помогает избавиться от $x^{2}$ , имеющегося в заданной по условию дроби вида $\frac{5 \cdot x^{2} \cdot (x + 1)}{x^{2} \cdot (x^{3} + 3)}$ к виду $\frac{5 \cdot x + 5}{x^{3} + 3}$ . Это называется упрощением.

Основное свойство можно записать в виде выражений $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}$ , когда $a, b, m$ являются многочленами или обычными переменными, причем $b$ и $m$ должны являться ненулевыми.

Сферы применения основного свойства алгебраической дроби

Применение основного свойства актуально для приведения к новому знаменателю или при сокращении дроби.

Определение 2

Приведение к общему знаменателю – это умножение числителя и знаменателя на аналогичный многочлен для получения нового. Полученная дробь равна исходной.

То есть дробь вида $\frac{(x + y) \cdot (x^{2} + 1)}{(x + 1) \cdot (x^{2} + 1)}$ при умножении на $x^{2} + 1$ и приведении к общему знаменателю $(x + 1) \cdot (x^{2} + 1)$ получит вид $\frac{x^{3} + x + x^{2} \cdot y + y}{x^{3} + x + x^{2} + 1}$ .

После проведения действий с многочленами получаем, что алгебраическая дробь преобразуется в $\frac{x^{3} + x + x^{2} \cdot y + y}{x^{3} + x + x^{2} + 1}$ .

Приведение к общему знаменателю выполняется также при сложении или вычитании дробей. Если даны дробные коэффициенты, то предварительно необходимо произвести упрощение, что позволит упростить вид и само нахождение общего знаменателя. Например, $\frac{\frac{2}{5} \cdot x \cdot y - 2}{x + \frac{1}{2}} = \frac{10 \cdot (\frac{2}{5} \cdot x \cdot y - 2)}{10 \cdot (x + \frac{1}{2})} = \frac{4 \cdot x \cdot y - 20}{10 \cdot x + 5}$ .

Применение свойства при сокращении дробей выполняется в $2$ этапа: разложение числителя и знаменателя на множители для поиска общего $m$ , после чего осуществить переход к виду дроби $\frac{a}{b}$ , основываясь на равенстве вида $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ .

Если дробь вида $\frac{4 \cdot x^{3} - x \cdot y}{16 \cdot x^{4} - y^{2}}$ после разложения преобразуется на $\frac{x \cdot (4 \cdot x^{2} - y)}{(4 \cdot x^{2} - y) \cdot (4 \cdot x^{2} + y)}$ , очевидно, что общим множителем будет многочлен $4 \cdot x^{2} - y$ . Тогда возможно будет произвести сокращение дроби по основному его свойству. Получим, что

$\frac{x \cdot (4 \cdot x^{2} - y)}{(4 \cdot x^{2} - y) \cdot (4 \cdot x^{2} + y)} = \frac{x}{4 \cdot x^{2} + y}$ . Дробь упрощается, тогда при подстановке значений необходимо будет выполнять намного меньше действий, чем при подстановке в исходную.