Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры

Содержание:

Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

Определение и примеры рациональных выражений

Определение 1

Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.

Для примера имеем, что $5, \frac{2}{3} \cdot x - 5, - 3 \cdot {(a \cdot b^{3} - \frac{1}{c})}^{2} + \frac{4}{a^{2} + \frac{b^{2}}{(1 + a) : (1 - b)}}, \frac{(x + 1) \cdot (y - 2)}{x^{5} - 5 \cdot x \cdot y} \cdot {(2 - \frac{1}{11 \cdot x})}^{3}$ .

То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с $8$ класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.

Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.

Основные виды преобразований рациональных выражений

Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.

Пример 1

Преобразовать рациональное выражение $3 \cdot \frac{x}{x \cdot y - 1} - 2 \cdot \frac{x}{x \cdot y - 1}$ .

Решение

Видно, что такое рациональное выражение – это разность $3 \cdot \frac{x}{x \cdot y - 1}$ и $2 \cdot \frac{x}{x \cdot y - 1}$ . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид

$3 \cdot \frac{x}{x \cdot y - 1} - 2 \cdot \frac{x}{x \cdot y - 1} = \frac{x}{x \cdot y - 1} \cdot (3 - 2) = \frac{x}{x \cdot y - 1}$

Ответ: $3 \cdot \frac{x}{x \cdot y - 1} - 2 \cdot \frac{x}{x \cdot y - 1} = \frac{x}{x \cdot y - 1}$ .

Пример 2

Выполнить преобразование $2 \cdot x \cdot y^{4} \cdot (- 4) \cdot x^{2} : (3 \cdot x - x)$ .

Решение

Первоначально выполняем действия в скобках $3 \cdot x - x = 2 \cdot x$ . Данное выражение представляем в виде $2 \cdot x \cdot y^{4} \cdot (- 4) \cdot x^{2} : (3 \cdot x - x) = 2 \cdot x \cdot y^{4} \cdot (- 4) \cdot x^{2} : (2 \cdot x)$ . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.

Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что $2 \cdot x \cdot y^{4} \cdot (- 4) \cdot x^{2} : (2 \cdot x) = 2 \cdot x \cdot y^{4} \cdot (- 4) \cdot x^{2} : 2 : x$ .

Группируем числовые множители с переменной $x$ , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что

$2 \cdot x \cdot y^{4} \cdot (- 4) \cdot x^{2} : 2 : x = (2 \cdot (- 4) : 2) \cdot (x \cdot x^{2} : x) \cdot y^{4} = - 4 \cdot x^{2} \cdot y^{4}$

Ответ: $2 \cdot x \cdot y^{4} \cdot (- 4) \cdot x^{2} : (3 \cdot x - x) = - 4 \cdot x^{2} \cdot y^{4}$ .

Пример 3

Преобразовать выражение вида $\frac{x \cdot (x + 3) - (3 \cdot x + 1)}{\frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 + 2}$ .

Решение

Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида $(x \cdot (x + 3) - (3 \cdot x + 1)) : (\frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 + 2)$ , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида $\frac{x \cdot (x + 3) - (3 \cdot x + 1)}{\frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 + 2} = \frac{x^{2} + 3 \cdot x - 3 \cdot x - 1}{(\frac{1}{2} \cdot 4) \cdot x + 2} = \frac{x^{2} - 1}{2 \cdot x + 2}$ .

Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что

$\frac{x^{2} - 1}{2 \cdot x + 2} = \frac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{2 \cdot (x + 1)} = \frac{x - 1}{2}$

Ответ: $\frac{x \cdot (x + 3) - (3 \cdot x + 1)}{\frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 + 2} = \frac{x - 1}{2}$ .

Представление в виде рациональной дроби

Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.

Пример 4

Представить в виде рациональной дроби $\frac{a + 5}{a \cdot (a - 3)} - \frac{a^{2} - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 \cdot a}$ .

Решение

Данное выражение можно представить в виде $\frac{a^{2} - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 \cdot a}$ . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.

Следует начать с умножения, тогда получим, что

$\frac{a^{2} - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 \cdot a} = \frac{(a - 5) \cdot (a + 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a \cdot (a + 5)} = \frac{(a - 5) \cdot (a + 5) \cdot 1}{(a + 3) \cdot a \cdot (a + 5)} = \frac{a - 5}{(a + 3) \cdot a}$

Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что

$\frac{a + 5}{a \cdot (a - 3)} - \frac{a^{2} - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 \cdot a} = \frac{a + 5}{a \cdot (a - 3)} - \frac{a - 5}{(a + 3) \cdot a}$

Теперь выполняем вычитание:

$\frac{a + 5}{a \cdot (a - 3)} - \frac{a - 5}{(a + 3) \cdot a} = \frac{(a + 5) \cdot (a + 3)}{a \cdot (a - 3) \cdot (a + 3)} - \frac{(a - 5) \cdot (a - 3)}{(a + 3) \cdot a \cdot (a - 3)} = = \frac{(a + 5) \cdot (a + 3) - (a - 5) \cdot (a - 3)}{a \cdot (a - 3) \cdot (a + 3)} = \frac{a^{2} + 3 \cdot a + 5 \cdot a + 15 - (a^{2} - 3 \cdot a - 5 \cdot a + 15)}{a \cdot (a - 3) \cdot (a + 3)} = = \frac{16 \cdot a}{a \cdot (a - 3) \cdot (a + 3)} = \frac{16}{(a - 3) \cdot (a + 3)} = \frac{16}{a^{2} - 9}$

После чего очевидно, что исходное выражение примет вид $\frac{16}{a^{2} - 9}$ .

Ответ: $\frac{a + 5}{a \cdot (a - 3)} - \frac{a^{2} - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 \cdot a} = \frac{16}{a^{2} - 9}$ .

Пример 5

Представить $\frac{\frac{x}{x + 1} + 1}{\frac{2 \cdot x - 1}{1 + x}}$ в виде рациональной дроби.

Решение

Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется $\frac{x}{x + 1} + 1$ , а в знаменателе $\frac{2 \cdot x - 1}{1 + x}$ . Необходимо произвести преобразования $\frac{x}{x + 1} + 1$ . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что $\frac{x}{x + 1} + 1 = \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{1} = \frac{x}{x + 1} + \frac{1 \cdot (x + 1)}{1 \cdot (x + 1)} = \frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1} = \frac{x + x + 1}{x + 1} = \frac{2 \cdot x + 1}{x + 1}$

Следует, что $\frac{\frac{x}{x + 1} + 1}{\frac{2 \cdot x - 1}{1 + x}} = \frac{\frac{2 \cdot x + 1}{x + 1}}{\frac{2 \cdot x - 1}{1 + x}}$

Получившаяся дробь может быть записана как $\frac{2 \cdot x + 1}{x + 1} : \frac{2 \cdot x - 1}{1 + x}$ .

После деления придем к рациональной дроби вида

$\frac{2 \cdot x + 1}{x + 1} : \frac{2 \cdot x - 1}{1 + x} = \frac{2 \cdot x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1 + x}{2 \cdot x - 1} = \frac{(2 \cdot x + 1) \cdot (1 + x)}{(x + 1) \cdot (2 \cdot x - 1)} = \frac{2 \cdot x + 1}{2 \cdot x - 1}$

Можно решить это иначе.

Вместо деления на $\frac{2 \cdot x - 1}{1 + x}$ производим умножение на обратную ей $\frac{1 + x}{2 \cdot x - 1}$ . Применим распределительное свойство и получаем, что

$\frac{\frac{x}{x + 1} + 1}{\frac{2 \cdot x - 1}{1 + x}} = (\frac{x}{x + 1} + 1) : \frac{2 \cdot x - 1}{1 + x} = (\frac{x}{x + 1} + 1) \cdot \frac{1 + x}{2 \cdot x - 1} = = \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{1 + x}{2 \cdot x - 1} + 1 \cdot \frac{1 + x}{2 \cdot x - 1} = \frac{x \cdot (1 + x)}{(x + 1) \cdot (2 \cdot x - 1)} + \frac{1 + x}{2 \cdot x - 1} = = \frac{x}{2 \cdot x - 1} + \frac{1 + x}{2 \cdot x - 1} = \frac{x + 1 + x}{2 \cdot x - 1} = \frac{2 \cdot x + 1}{2 \cdot x - 1}$

Ответ: $\frac{\frac{x}{x + 1} + 1}{\frac{2 \cdot x - 1}{1 + x}} = \frac{2 \cdot x + 1}{2 \cdot x - 1}$ .

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта