Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Определение и примеры рациональных выражений
Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
Для примера имеем, что .
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Преобразовать рациональное выражение .
Решение
Видно, что такое рациональное выражение – это разность и . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид
Ответ: .
Выполнить преобразование .
Решение
Первоначально выполняем действия в скобках . Данное выражение представляем в виде . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.
Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что .
Группируем числовые множители с переменной , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что
Ответ: .
Преобразовать выражение вида .
Решение
Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида .
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
Ответ: .
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.
Представить в виде рациональной дроби .
Решение
Данное выражение можно представить в виде . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
Теперь выполняем вычитание:
После чего очевидно, что исходное выражение примет вид .
Ответ: .
Представить в виде рациональной дроби.
Решение
Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется , а в знаменателе . Необходимо произвести преобразования . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что
Следует, что
Получившаяся дробь может быть записана как .
После деления придем к рациональной дроби вида
Можно решить это иначе.
Вместо деления на производим умножение на обратную ей . Применим распределительное свойство и получаем, что
Ответ: .