Преобразование целых выражений

Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.

Определение и примеры целых выражений

Определение 1

Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые также имеют скобки или деление, отличное от нуля.

Исходя из определения, имеем, что примеры целых выражений: $7, 0, - 12, \frac{7}{11}, 2, 73, - 3 \frac{5}{6}$ и так далее, причем переменные вида $a, b, p, q, x, z$ считают за целые выражения. После их преобразования сумм, разностей, произведений выражения примут вид

$x + 1, 5 \cdot y^{3} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 - 2 \cdot y - 3, 3 - x \cdot y \cdot z^{4}, - \frac{6}{7}, 5 \cdot (2 \cdot x + 3 \cdot y^{2})^{2} - - (1 - x) \cdot (1 + x) \cdot (1 + x^{2})$

Если в выражении имеется деление на число, отличное от нуля вида $x : 5 + 8 : 2 : 4$ или $(x + y) : 6$ , тогда деление может обозначаться при помощи дробной черты, как $\frac{x + 3}{5} - 3, 2 \cdot x + 2$ . При рассмотрении выражений вида $x : 5 + 5 : x$ или $4 + \frac{a^{2} + 2 \cdot a - 6}{a + b + 2 \cdot c}$ видно, что такие выражения не могут быть целыми, так как в первом имеется деление на переменную $x$ , а во втором на выражение с переменной.

Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.

Какие преобразования целых выражений возможны?

Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.

Пример 1

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в $2 \cdot (a^{3} + 3 \cdot a \cdot b - 2 \cdot a) - 2 \cdot a^{3} - (5 \cdot a \cdot b - 6 \cdot a + b)$ .

Решение

Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида $2 \cdot (a^{3} + 3 \cdot a \cdot b - 2 \cdot a) - 2 \cdot a^{3} - (5 \cdot a \cdot b - 6 \cdot a + b) = = 2 \cdot a^{3} + 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b + 2 \cdot (- 2 \cdot a) - 2 \cdot a^{3} - 5 \cdot a \cdot b + 6 \cdot a - b = = 2 \cdot a^{3} + 6 \cdot a \cdot b - 4 \cdot a - 2 \cdot a^{3} - 5 \cdot a \cdot b + 6 \cdot a - b$

После чего можем привести подобные слагаемые:

$2 \cdot a^{3} + 6 \cdot a \cdot b - 4 \cdot a - 2 \cdot a^{3} - 5 \cdot a \cdot b + 6 \cdot a - b = = (2 \cdot a^{3} - 2 \cdot a^{3}) + (6 \cdot a \cdot b - 5 \cdot a \cdot b) + (- 4 \cdot a + 6 \cdot a) - b = = 0 + a \cdot b + 2 \cdot a - b = a \cdot b + 2 \cdot a - b .$

После их приведения получаем многочлен вида $a \cdot b + 2 \cdot a - b$ .

Ответ: $2 \cdot (a^{3} + 3 \cdot a \cdot b - 2 \cdot a) - 2 \cdot a^{3} - (5 \cdot a \cdot b - 6 \cdot a + b) = a \cdot b + 2 \cdot a - b$ .

Пример 2

Произвести преобразования $(x - 1) : \frac{2}{3} + 2 \cdot (x^{2} + 1) : 3 : 7$ .

Решение

Имеющееся деление можно заменять умножением, но на обратное число. Тогда необходимо выполнить преобразования, после которых выражение примет вид $(x - 1) \cdot \frac{3}{2} + 2 \cdot (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7}$ . Теперь следует заняться приведением подобных слагаемых. Получим, что

$(x - 1) \cdot \frac{3}{2} + 2 \cdot (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) + \frac{2}{21} \cdot (x^{2} + 1) = = \frac{3}{2} \cdot x - \frac{3}{2} + \frac{2}{21} \cdot x^{2} + \frac{2}{21} = \frac{2}{21} \cdot x^{2} + \frac{3}{2} \cdot x - \frac{59}{42} = \frac{2}{21} \cdot x^{2} + 1 \frac{1}{2} \cdot x - 1 \frac{17}{42}$

Ответ: $(x - 1) : \frac{2}{3} + 2 \cdot (x^{2} + 1) : 3 : 7 = \frac{2}{21} \cdot x^{2} + 1 \frac{1}{2} \cdot x - 1 \frac{17}{42}$ .

Пример 3

Представить выражение $6 \cdot x^{2} \cdot y + 18 \cdot x \cdot y - 6 \cdot y - (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x)$ в виде произведения.

Решение

Рассмотрев выражение, видно, что первые три слагаемые имеют общий множитель вида $6 \cdot y$ , который следует вынести за скобки во время преобразования. Тогда получим, что $6 \cdot x^{2} \cdot y + 18 \cdot x \cdot y - 6 \cdot y - (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x) = = 6 \cdot y \cdot (x^{2} + 3 \cdot x - 1) - (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x)$

Видно, что получили разность двух выражений вида $6 \cdot y \cdot (x^{2} + 3 \cdot x - 1)$ и $(x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x)$ с общим множителем $x^{2} + 3 \cdot x - 1$ , который необходимо вынести за скобки. Получим, что

$6 \cdot y \cdot (x^{2} + 3 \cdot x - 1) - (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x) = = (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (6 \cdot y - (x^{3} + 4 \cdot x))$

Раскрыв скобки, имеем выражение вида $(x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (6 \cdot y - x^{3} - 4 \cdot x)$ , которое необходимо было найти по условию.

Ответ: $6 \cdot x^{2} \cdot y + 18 \cdot x \cdot y - 6 \cdot y - (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (x^{3} + 4 \cdot x) = = (x^{2} + 3 \cdot x - 1) \cdot (6 \cdot y - x^{3} - 4 \cdot x)$

Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.

Пример 4

Преобразовать выражение $(3 \cdot 2 - 6^{2} : 9)^{3} \cdot (x^{2})^{4} + 4 \cdot x : 8$ .

Решение

Вы первую очередь выполняются действия в скобках. Тогда имеем, что $3 \cdot 2 - 6^{2} : 9 = 3 \cdot 2 - 3^{6} : 9 = 6 - 4 = 2$ . После преобразований выражение принимает вид $2^{3} \cdot (x^{2})^{4} + 4 \cdot x : 8$ . Известно, что $2^{3} = 8$ и $(x^{2})^{4} = x^{2} \cdot 4 = x^{8}$ , тогда можно прийти к выражению вида $8 \cdot x^{8} + 4 \cdot x : 8$ . Второе слагаемое требует замены деления на умножение из $4 \cdot x : 8$ . Сгруппировав множители, получаем, что

$8 \cdot x^{8} + 4 \cdot x : 8 = 8 \cdot x^{8} + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{8} = 8 \cdot x^{8} + (4 \cdot \frac{1}{8}) \cdot x = 8 \cdot x^{8} + \frac{1}{2} \cdot x$

Ответ: $(3 \cdot 2 - 6^{2} : 9)^{3} \cdot (x^{2})^{4} + 4 \cdot x : 8 = 8 \cdot x^{8} + \frac{1}{2} \cdot x$ .

Преобразование в многочлен

Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена. Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.

Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.

Пример 5

Представить в виде многочлена $2 \cdot (2 \cdot x^{3} - 1) + (2 \cdot x - 1)^{2} \cdot (3 - x) + (4 \cdot x - x \cdot (15 \cdot x + 1))$ .

Решение

В данном выражение начать преобразования с выражения вида $4 \cdot x - x \cdot (15 \cdot x + 1)$ , причем по правилу в начале выполнив умножение или деление, после чего сложение или вычитание. Умножим – $x$ на $15 \cdot x + 1$ , тогда получим $4 \cdot x - x \cdot (15 \cdot x + 1) = 4 \cdot x - 15 \cdot x^{2} - x = (4 \cdot x - x) - 15 \cdot x^{2} = 3 \cdot x - 15 \cdot x^{2}$ . Заданное выражение примет вид $2 \cdot (2 \cdot x^{3} - 1) + (2 \cdot x - 1)^{2} \cdot (3 - x) + (3 \cdot x - 15 \cdot x^{2})$ .

Далее необходимо произвести возведение во $2$ степень многочлена $2 \cdot x - 1$ , получим выражение вида $(2 \cdot x - 1)^{2} = (2 \cdot x - 1) \cdot (2 \cdot x - 1) = 4 \cdot x^{2} + 2 \cdot x \cdot (- 1) - 1 \cdot 2 \cdot x - 1 \cdot (- 1) = = 4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 1$

Теперь можно перейти к виду $2 \cdot (2 \cdot x^{3} - 1) + (4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 1) \cdot (3 - x) + (3 \cdot x - 15 \cdot x^{2})$ .

Разберем умножение. Видно, что $2 \cdot (2 \cdot x^{3} - 1) = 4 \cdot x^{3} - 2$ и $(4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 1) \cdot (3 - x) = 12 \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{3} - 12 \cdot x + 4 \cdot x^{2} + 3 - x = = 16 \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{3} - 13 \cdot x + 3$

тогда можно сделать переход к выражению вида $(4 \cdot x^{3} - 2) + (16 \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{3} - 13 \cdot x + 3) + (3 \cdot x - 15 \cdot x^{2})$ .

Выполняем сложение, после чего придем к выражению:

$(4 \cdot x^{3} - 2) + (16 \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{3} - 13 \cdot x + 3) + (3 \cdot x - 15 \cdot x^{2}) = = 4 \cdot x^{3} - 2 + 16 \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{3} - 13 \cdot x + 3 + 3 \cdot x - 15 \cdot x^{2} = = (4 \cdot x^{3} - 4 \cdot x^{3}) + (16 \cdot x^{2} - 15 \cdot x^{2}) + (- 13 \cdot x + 3 \cdot x) + (- 2 + 3) = = 0 + x^{2} - 10 \cdot x + 1 = x^{2} - 10 \cdot x + 1 .$

Отсюда следует, что исходное выражение имеет вид $x^{2} - 10 \cdot x + 1$ .

Ответ: $2 \cdot (2 \cdot x^{3} - 1) + (2 \cdot x - 1)^{2} \cdot (3 - x) + (4 \cdot x - x \cdot (15 \cdot x + 1)) = x^{2} - 10 \cdot x + 1$ .

Умножение и возведение в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.

Пример 6

Преобразовать $4 \cdot (2 \cdot m + n)^{2} + (m - 2 \cdot n) \cdot (m + 2 \cdot n)$ .

Решение

Из формулы квадрата получим, что $(2 \cdot m + n)^{2} = (2 \cdot m)^{2} + 2 \cdot (2 \cdot m) \cdot n + n^{2} = 4 \cdot m^{2} + 4 \cdot m \cdot n + n^{2}$ , тогда произведение $(m - 2 \cdot n) \cdot (m + 2 \cdot n)$ равняется разности квадратов $m$ и $2 \cdot n$ , таким образом, равняется $m^{2} - 4 \cdot n^{2}$ . Получим, что исходное выражение примет вид $4 \cdot (2 \cdot m + n)^{2} + (m - 2 \cdot n) \cdot (m + 2 \cdot n) = 4 \cdot (4 \cdot m^{2} + 4 \cdot m \cdot n + n^{2}) + (m^{2} - 4 \cdot n^{2}) = = 16 \cdot m^{2} + 16 \cdot m \cdot n + 4 \cdot n^{2} + m^{2} - 4 \cdot n^{2} = 17 \cdot m^{2} + 16 \cdot m \cdot n$

Ответ: $4 \cdot (2 \cdot m + n)^{2} + (m - 2 \cdot n) \cdot (m + 2 \cdot n) = 17 \cdot m^{2} + 16 \cdot m \cdot n$ .

Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.

Пример 7

Упростить выражение вида $(2 \cdot a \cdot (- 3) \cdot a^{2} \cdot b) \cdot (2 \cdot a + 5 \cdot b^{2}) + a \cdot b \cdot (a^{2} + 1 + a^{2}) \cdot (6 \cdot a + 15 \cdot b^{2}) + (5 \cdot a \cdot b \cdot (- 3) \cdot b^{2})$

Решение

Чаще всего многочлены и одночлены даются не стандартного вида, поэтому приходится выполнять преобразования. Следует преобразовать, чтобы получить выражение вида $- 6 \cdot a^{3} \cdot b \cdot (2 \cdot a + 5 \cdot b^{2}) + a \cdot b \cdot (2 \cdot a^{2} + 1) \cdot (6 \cdot a + 15 \cdot b^{2}) - 15 \cdot a \cdot b^{3}$ . Для того чтобы привести подобные, необходимо предварительно произвести умножение по правилам преобразования сложного выражения. Получаем выражение вида

$- 6 \cdot a^{3} \cdot b \cdot (2 \cdot a + 5 \cdot b^{2}) + a \cdot b \cdot (2 \cdot a^{2} + 1) \cdot (6 \cdot a + 15 \cdot b^{2}) - 15 \cdot a \cdot b^{3} = = - 12 \cdot a^{4} \cdot b - 30 \cdot a^{3} \cdot b^{3} + (2 \cdot a^{3} \cdot b + a \cdot b) \cdot (6 \cdot a + 15 \cdot b^{2}) - 15 \cdot a \cdot b^{3} = = - 12 \cdot a^{4} \cdot b - 30 \cdot a^{3} \cdot b^{3} + 12 \cdot a^{4} \cdot b + 30 \cdot a^{3} \cdot b^{3} + 6 \cdot a^{2} \cdot b + 15 \cdot a \cdot b^{3} - 15 \cdot a \cdot b^{3} = = (- 12 \cdot a^{4} \cdot b + 12 \cdot a^{4} \cdot b) + (- 30 \cdot a^{3} \cdot b^{3} + 30 \cdot a^{3} \cdot b^{3}) + 6 \cdot a^{2} \cdot b + (15 \cdot a \cdot b^{3} - 15 \cdot a \cdot b^{3}) = 6 \cdot a^{2} \cdot b$

Ответ: $(2 \cdot a \cdot (- 3) \cdot a^{2} \cdot b) \cdot (2 \cdot a + 5 \cdot b^{2}) + a \cdot b \cdot (a^{2} + 1 + a^{2}) \cdot (6 \cdot a + 15 \cdot b^{2}) + + (5 \cdot a \cdot b \cdot (- 3) \cdot b^{2}) = 6 \cdot a^{2} \cdot b$

Преобразование целых выражений

Определение и примеры целых выражений

Какие преобразования целых выражений возможны?

Преобразование в многочлен

Выполненные работы по математике

Математика

Математика

Математика

Математика

Математика

Математика