Приведение многочленов к стандартному виду: примеры и решение

В изучении темы о многочленах отдельно стоит упомянуть о том, что многочлены встречаются как стандартного, так и не стандартного вида. При этом многочлен нестандартного вида можно привести к стандартному виду. Собственно, этот вопрос и будем разбирать в данной статье. Закрепим разъяснения примерами с подробным пошаговым описанием.

Смысл приведения многочлена к стандартному виду

Немного углубимся в само понятие, действие – «приведение многочлена к стандартному виду».

Многочлены, подобно любым другим выражениям, возможно тождественно преобразовывать. Как итог, мы получаем в таком случае выражения, которые тождественно равны исходному выражению.

Определение 1

Привести многочлен к стандартному виду – означает замену исходного многочлена на равный ему многочлен стандартного вида, полученный из исходного многочлена при помощи тождественных преобразований.

Способ приведения многочлена к стандартному виду

Порассуждаем на тему того, какие именно тождественные преобразования приведут многочлен к стандартному виду.

Определение 2

Согласно определению, каждый многочлен стандартного вида состоит из одночленов стандартного вида и не имеет в своем составе подобных членов. Многочлен же нестандартного вида может включать в себя одночлены нестандартного вида и подобные члены. Из сказанного закономерно выводится правило, говорящее о том, как привести многочлен к стандартному виду:

в первую очередь к стандартному виду приводятся одночлены, составляющие заданный многочлен;
затем производится приведение подобных членов.

Примеры и решения

Разберем подробно примеры, в которых приведем многочлен к стандартному виду. Следовать будем правилу, выведенному выше.

Отметим, что иногда члены многочлена в исходном состоянии уже имеют стандартный вид, и остается только привести подобные члены. Случается, что после первого шага действий не оказывается подобных членов, тогда второй шаг пропускаем. В общих случаях необходимо совершать оба действия из правила выше.

Пример 1

Заданы многочлены:

$5 \cdot x^{2} \cdot y + 2 \cdot y^{3} - x \cdot y + 1$ ,

$0, 8 + 2 \cdot a^{3} \cdot 0, 6 - b \cdot a \cdot b^{4} \cdot b^{5}$ ,

$2 \frac{3}{7} \cdot x^{2} + \frac{1}{2} \cdot y \cdot x \cdot (- 2) - 1 \frac{6}{7} \cdot x \cdot x + 9 - \frac{4}{7} \cdot x^{2} - 8$ .

Необходимо привести их к стандартному виду.

Решение

рассмотрим сначала многочлен $5 \cdot x^{2} \cdot y + 2 \cdot y^{3} - x \cdot y + 1$ : его члены имеют стандартный вид, подобные члены отсутствуют, значит многочлен задан в стандартном виде, и никаких дополнительных действий не требуется.

Теперь разберем многочлен $0, 8 + 2 \cdot a^{3} \cdot 0, 6 - b \cdot a \cdot b^{4} \cdot b^{5}$ . В его состав входят нестандартные одночлены: $2 \cdot a^{3} \cdot 0, 6 и - b \cdot a \cdot b^{4} \cdot b^{5}$ , т.е. имеем необходимость привести многочлен к стандартному виду, для чего первым действием преобразуем одночлены в стандартный вид:

$2 \cdot a^{3} \cdot 0, 6 = 1, 2 \cdot a^{3}$ ;

$- b \cdot a \cdot b^{4} \cdot b^{5} = - a \cdot b^{1 + 4 + 5} = - a \cdot b^{10}$ , таким образом получаем следующий многочлен:

$0, 8 + 2 \cdot a^{3} \cdot 0, 6 - b \cdot a \cdot b^{4} \cdot b^{5} = 0, 8 + 1, 2 \cdot a^{3} - a \cdot b^{10}$ .

В полученном многочлене все члены – стандартные, подобных членов не имеется, значит наши действия по приведению многочлена к стандартному виду завершены.

Рассмотрим третий заданный многочлен: $2 \frac{3}{7} \cdot x^{2} + \frac{1}{2} \cdot y \cdot x \cdot (- 2) - 1 \frac{6}{7} \cdot x \cdot x + 9 - \frac{4}{7} \cdot x^{2} - 8$

Приведем его члены к стандартному виду и получим:

$2 \frac{3}{7} \cdot x^{2} - x \cdot y - 1 \frac{6}{7} \cdot x^{2} + 9 - \frac{4}{7} \cdot x^{2} - 8$ .

Мы видим, что в составе многочлена имеются подобные члены, произведем приведение подобных членов:

$2 \frac{3}{7} \cdot x^{2} - x \cdot y - 1 \frac{6}{7} \cdot x^{2} + 9 - \frac{4}{7} \cdot x^{2} - 8 = = (2 \frac{3}{7} \cdot x^{2} - 1 \frac{6}{7} \cdot x^{2} - \frac{4}{7} \cdot x^{2}) - x \cdot y + (9 - 8) = = x^{2} \cdot (2 \frac{3}{7} - 1 \frac{6}{7} - \frac{4}{7}) - x \cdot y + 1 = = x^{2} \cdot (\frac{17}{7} - \frac{13}{7} - \frac{4}{7}) - x \cdot y + 1 = = x^{2} \cdot 0 - x \cdot y + 1 = x \cdot y + 1$

Таким образом, заданный многочлен $2 \frac{3}{7} \cdot x^{2} + \frac{1}{2} \cdot y \cdot x \cdot (- 2) - 1 \frac{6}{7} \cdot x \cdot x + 9 - \frac{4}{7} \cdot x^{2} - 8$ принял стандартный вид $- x \cdot y + 1$ .

Ответ:

$5 \cdot x^{2} \cdot y + 2 \cdot y^{3} - x \cdot y + 1$ - многочлен задан стандартным;

$0, 8 + 2 \cdot a^{3} \cdot 0, 6 - b \cdot a \cdot b^{4} \cdot b^{5} = 0, 8 + 1, 2 \cdot a^{3} - a \cdot b^{10}$ ;

$2 \frac{3}{7} \cdot x^{2} + \frac{1}{2} \cdot y \cdot x \cdot (- 2) - 1 \frac{6}{7} \cdot x \cdot x + 9 - \frac{4}{7} \cdot x^{2} - 8 = - x \cdot y + 1$ .

Во многих задачах действие приведения многочлена к стандартному виду – промежуточное при поиске ответа на заданный вопрос. Рассмотрим и такой пример.

Пример 2

Задан многочлен $11 - \frac{2}{3} z^{2} \cdot z + \frac{1}{3} \cdot z^{5} \cdot 3 - 0.5 \cdot z^{2} + z^{3}$ . Необходимо привести его к с стандартному виду, указать его степень и расположить члены заданного многочлена по убывающим степеням переменной.

Решение

Приведем члены заданного многочлена к стандартному виду:

$11 - \frac{2}{3} z^{3} + z^{5} - 0.5 \cdot z^{2} + z^{3}$ .

Следующим шагом приведем подобные члены:

$11 - \frac{2}{3} z^{3} + z^{5} - 0.5 \cdot z^{2} + z^{3} = 11 + (- \frac{2}{3} \cdot z^{3} + z^{3}) + z^{5} - 0, 5 \cdot z^{2} = = 11 + \frac{1}{3} \cdot z^{3} + z^{5} - 0, 5 \cdot z^{2}$

Мы получили многочлен стандартного вида, что дает нам возможность обозначить степень многочлена (равна наибольшей степени составляющих его одночленов). Очевидно, что искомая степень равна $5$ .

Остается только расположить члены по убывающим степеням переменных. С этой целью мы просто переставим местами члены в полученном многочлене стандартного вида с учетом требования. Таким образом, получим:

$z^{5} + \frac{1}{3} \cdot z^{3} - 0, 5 \cdot z^{2} + 11$ .

Ответ:

$11 - \frac{2}{3} \cdot z^{2} \cdot z + \frac{1}{3} \cdot z^{5} \cdot 3 - 0, 5 \cdot z^{2} + z^{3} = 11 + \frac{1}{3} \cdot z^{3} + z^{5} - 0, 5 \cdot z^{2}$ , при этом степень многочлена $- 5$ ; в результате расположения членов многочлена по убывающим степеням переменных многочлен примет вид: $z^{5} + \frac{1}{3} \cdot z^{3} - 0, 5 \cdot z^{2} + 11$ .

Учимся приводить многочлены к стандартному виду

Смысл приведения многочлена к стандартному виду

Способ приведения многочлена к стандартному виду

Примеры и решения