Действия с одночленами

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В предыдущей статье мы рассказали, что из себя представляют одночлены. В этом материале разберем, как решать примеры и задачи, в которых они применяются. Здесь будут рассмотрены такие действия, как вычитание, сложение, умножение, деление одночленов и возведение их в степень с натуральным показателем. Мы покажем, как определяются такие операции, обозначим основные правила их выполнения и то, что должно получится в результате. Все теоретические положения, как обычно, будут проиллюстрированы примерами задач с описаниями решений.

Удобнее всего работать со стандартной записью одночленов, поэтому все выражения, которые будут использованы в статье, мы приводим в стандартном виде. Если изначально они заданы иначе, рекомендуется сначала привести их к общепринятой форме.

Правила сложения и вычитания одночленов

Наиболее простые действия, которые можно проводить с одночленами – это вычитание и сложение. В общем случае результатом этих действий будет являться многочлен (одночлен возможен в некоторых частных случаях).

Когда мы складываем или вычитаем одночлены, сначала записываем в общепринятой форме соответствующую сумму и разность, после чего упрощаем получившееся выражение. Если есть подобные слагаемые, их нужно привести, скобки – раскрыть. Поясним на примере.

Пример 1

Условие: выполните сложение одночленов $- 3 \cdot x$ и $2, 72 \cdot x^{3} \cdot y^{5} \cdot z$ .

Решение

Запишем сумму исходных выражений. Добавим скобки и поставим между ними плюс. У нас получится следующее:

$(- 3 \cdot x) + (2, 72 \cdot x^{3} \cdot y^{5} \cdot z)$

Когда мы выполним раскрытие скобок, получится $- 3 \cdot x + 2, 72 \cdot x^{3} \cdot y^{5} \cdot z$ . Это многочлен, записанный в стандартной форме, который и будет результатом сложения данных одночленов.

Ответ: $(- 3 \cdot x) + (2, 72 \cdot x^{3} \cdot y^{5} \cdot z) = - 3 \cdot x + 2, 72 \cdot x^{3} \cdot y^{5} \cdot z$ .

Если у нас задано три, четыре и больше слагаемых, мы осуществляем это действие точно так же.

Пример 2

Условие: проведите в правильном порядке указанные действия с многочленами

$3 \cdot a^{2} - (- 4 \cdot a \cdot c) + a^{2} - 7 \cdot a^{2} + \frac{4}{9} - 2 \frac{2}{3} \cdot a \cdot c$

Решение

Начнем с раскрытия скобок.

$3 \cdot a^{2} + 4 \cdot a \cdot c + a^{2} - 7 \cdot a^{2} + \frac{4}{9} - 2 \frac{2}{3} \cdot a \cdot c$

Мы видим, что полученное выражение можно упростить путем приведения подобных слагаемых:

$3 \cdot a^{2} + 4 \cdot a \cdot c + a^{2} - 7 \cdot a^{2} + \frac{4}{9} - 2 \frac{2}{3} \cdot a \cdot c = = (3 \cdot a^{2} + a^{2} - 7 \cdot a^{2}) + (4 \cdot a \cdot c - 2 \frac{2}{3} \cdot a \cdot c) + \frac{4}{9} = = - 3 \cdot a^{2} + 1 \frac{1}{3} \cdot a \cdot c + \frac{4}{9}$

У нас получился многочлен, который и будет результатом данного действия.

Ответ: $3 \cdot a^{2} - (- 4 \cdot a \cdot c) + a^{2} - 7 \cdot a^{2} + \frac{4}{9} - 2 \frac{2}{3} \cdot a \cdot c = - 3 \cdot a^{2} + 1 \frac{1}{3} \cdot a \cdot c + \frac{4}{9}$

В принципе, мы можем выполнить сложение и вычитание двух одночленов с некоторыми ограничениями так, чтобы получить в итоге одночлен. Для этого нужно соблюсти некоторые условия, касающиеся слагаемых и вычитаемых одночленов. О том, как это делается, мы расскажем в отдельной статье.

Правила умножения одночленов

Действие умножения не налагает никаких ограничений на множители. Умножаемые одночлены не должны соответствовать никаким дополнительным условиям, чтобы в результате получится одночлен.

Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно выполнить следующие шаги:

Правильно записать произведение.
Раскрыть скобки в полученном выражении.
Сгруппировать по возможности множители с одинаковыми переменными и числовые множители отдельно.
Выполнить необходимые действия с числами и применить к оставшимся множителям свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Посмотрим, как это делается на практике.

Пример 3

Условие: выполните умножение одночленов $2 \cdot x^{4} \cdot y \cdot z$ и $- \frac{7}{16} \cdot t^{2} \cdot x^{2} \cdot z^{11}$ .

Решение

Начнем с составления произведения.

$(2 \cdot x^{4} \cdot y \cdot z) \cdot (- \frac{7}{16} \cdot t^{2} \cdot x^{2} \cdot z^{11})$

Раскрываем в нем скобки и получаем следующее:

$2 \cdot x^{4} \cdot y \cdot z \cdot (- \frac{7}{16}) \cdot t^{2} \cdot x^{2} \cdot z^{11}$

Далее нам нужно объединить числовые множители в одну группу, а потом сгруппировать множители с одинаковыми переменными:

$(2 \cdot (- \frac{7}{16})) \cdot t^{2} \cdot (x^{4} \cdot x^{2}) \cdot y \cdot (z^{3} \cdot z^{11})$

Все, что нам осталось сделать – это умножить числа в первых скобках и применить свойство степеней для вторых. В итоге получим следующее:

$(2 \cdot (- \frac{7}{16})) \cdot t^{2} \cdot (x^{4} \cdot x^{2}) \cdot y \cdot (z^{3} \cdot z^{11}) = - \frac{7}{8} \cdot t^{2} \cdot x^{4 + 2} \cdot y \cdot z^{3 + 11} = = - \frac{7}{8} \cdot t^{2} \cdot x^{6} \cdot y \cdot z^{14}$

Ответ: $(2 \cdot x^{4} \cdot y \cdot z) \cdot (- \frac{7}{16} \cdot t^{2} \cdot x^{2} \cdot z^{11}) = - \frac{7}{8} \cdot t^{2} \cdot x^{6} \cdot y \cdot z^{14}$ .

Если у нас в условии стоят три многочлена и больше, мы умножаем их по точно такому же алгоритму. Более подробно вопрос умножения одночленов мы рассмотрим в рамках отдельного материала.

Правила возведения одночлена в степень

Мы знаем, что степенью с натуральным показателем называют произведение некоторого числа одинаковых множителей. На их количество указывает число в показателе. Согласно этому определению, возведение одночлена в степень равнозначно умножению указанного числа одинаковых одночленов. Посмотрим, как это делается.

Пример 4

Условие: выполните возведение одночлена $- 2 \cdot a \cdot b^{4}$ в степень $3$ .

Решение

Мы можем заменить возведение в степень на умножение $3$ -х одночленов $- 2 \cdot a \cdot b^{4}$ . Запишем и получим нужный ответ:

$(- 2 \cdot a \cdot b^{4})^{3} = (- 2 \cdot a \cdot b^{4}) \cdot (- 2 \cdot a \cdot b^{4}) \cdot (- 2 \cdot a \cdot b^{4}) = = ((- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)) \cdot (a \cdot a \cdot a) \cdot (b^{4} \cdot b^{4} \cdot b^{4}) = - 8 \cdot a^{3} \cdot b^{12}$

Ответ: $(- 2 \cdot a \cdot b^{4})^{3} = - 8 \cdot a^{3} \cdot b^{12}$ .

А как быть в том случае, когда степень имеет большой показатель? Записывать большое количество множителей неудобно. Тогда для решения такой задачи нам надо применить свойства степени, а именно свойство степени произведения и свойство степени в степени.

Решим задачу, которую мы привели выше, указанным способом.

Пример 5

Условие: выполните возведение $- 2 \cdot a \cdot b^{4}$ в третью степень.

Решение

Зная свойство степени в степени, мы можем перейти к выражению следующего вида:

$(- 2 \cdot a \cdot b^{4})^{3} = (- 2)^{3} \cdot a^{3} \cdot (b^{4})^{3}$ .

После этого мы возводим в степень $- 2$ и применяем свойство степени в степени:

$(- 2)^{3} \cdot (a)^{3} \cdot (b^{4})^{3} = - 8 \cdot a^{3} \cdot b^{4} \cdot 3 = - 8 \cdot a^{3} \cdot b^{12}$ .

Ответ: $- 2 \cdot a \cdot b^{4} = - 8 \cdot a^{3} \cdot b^{12}$ .

Возведению одночлена в степень мы также посвятили отдельную статью.

Правила деления одночленов

Последнее действие с одночленами, которое мы разберем в данном материале, – деление одночлена на одночлен. В результате мы должны получить рациональную (алгебраическую) дробь (в некоторых случаях возможно получение одночлена). Сразу уточним, что деление на нулевой одночлен не определяется, поскольку не определяется деление на 0.

Для выполнения деления нам нужно записать указанные одночлены в форме дроби и сократить ее, если есть такая возможность.

Пример 6

Условие: выполните деление одночлена $- 9 \cdot x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{7}$ на $- 6 \cdot p^{3} \cdot t^{5} \cdot x^{2} \cdot y^{2}$ .

Решение

Начнем с записи одночленов в форме дроби.

$\frac{- 9 \cdot x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{7}}{- 6 \cdot p^{3} \cdot t^{5} \cdot x^{2} \cdot y^{2}}$

Эту дробь можно сократить. После выполнения этого действия получим:

$\frac{3 \cdot x^{2} \cdot y \cdot z^{7}}{2 \cdot p^{3} \cdot t^{5}}$

Ответ: $\frac{- 9 \cdot x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{7}}{- 6 \cdot p^{3} \cdot t^{5} \cdot x^{2} \cdot y^{2}} = \frac{3 \cdot x^{2} \cdot y \cdot z^{7}}{2 \cdot p^{3} \cdot t^{5}}$ .

Условия, при которых в результате деления одночленов мы получим одночлен, приводятся в отдельной статье.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.