Энергия электрического диполя во внешнем поле

Необходимо рассмотреть диполь, находящийся в неоднородном поле, симметричном относительно $Х$. Объяснить, как будет вести себя диполь в таком поле с точки зрения действующих на него сил.

Решение

Предположим, что центр диполя лежит на оси $Х$, как показано на рисунке $2$. Тогда угол между плечом диполя и осью $Х$ равняется $\upsilon \ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Из условия видно, что $F_1\ne F_2$. На диполь будет действовать вращательный момент и сила, стремящаяся переместить диполь по оси $Х$.

Рисунок $2$

Для нахождения модуля этой силы применяются формулы:

$F_x=-\frac{\partial W}{\partial x}, F_y=-\frac{\partial W}{\partial y}, F_z=-\frac{\partial W}{\partial z}$.

Опираясь на уравнение для потенциальной энергии диполя, получаем:

$W(x, y, z)=-pE(x, y, z)\cos \upsilon$.

Обозначим, что $\upsilon =const$.

Для точек, располагаемых на оси $Х$:

$$\begin{gathered} F_y=-\frac{\partial W}{\partial y}=0, F_z=-\frac{\partial W}{\partial z}=0; \\ {F}_x=-\frac{\partial W}{\partial x}=p\frac{\partial E}{\partial x}\cos \upsilon . \end{gathered}$$

Если $\upsilon =0$, то диполь начинает втягиваться в область более сильного поля. При $\upsilon >\frac{\mathrm{\pi }}{2}{F}_x$.

Когда $-\frac{\partial W}{\partial x}=F_x$, т.е. производная потенциальной энергии дает проекцию силы на соответствующую ось, тогда производная выражения $-\frac{\partial W}{\partial \upsilon }=M_{\upsilon }$ выдает проекцию вращательного момента на ось:

$-\frac{\partial W}{\partial \upsilon }=M_{\upsilon }=-pE\sin \upsilon$.

Ответ: Наличие отрицательного результата говорит о том, что момент стремится уменьшить угол между электрическим моментом диполя и вектором напряженности поля. Стремление диполя в электрическом поле стремится повернуться таким образом, чтобы электрический момент диполя стал параллельным полю $\left(\overrightarrow{p}\uparrow \uparrow \overrightarrow{E}\right)$. При $\overrightarrow{p}\uparrow \uparrow \overrightarrow{E}$ вращающий момент также равняется нулю, но такое равновесие считается неустойчивым.

Даны два диполя на расстоянии $r$. Их оси располагаются на одной прямой. Электрические моменты равняются $p_1$ и $p_2$. Произвести вычисление потенциальной энергии любого диполя, которая будет соответствовать положению устойчивого равновесия.

Решение

Нахождение системы в равновесном состоянии обусловлено ориентированностью диполей вдоль поля противоположными по знаку зарядами друг к другу, как показано на рисунке $3$.

Рисунок $3$

Предположим, что поле создает диполь с моментом $p_1$, то следует заняться поиском потенциальной энергии диполя, обладающей электрическим моментом $p_2$ в точке поля $А$ на расстоянии $r$ от первого диполя. Его плечи малы по сравнению с расстоянием между диполями $\left(l\ll r\right)$. Разрешено принимать их в качестве точечных, то есть нахождение диполя с моментом $p_2$ в точке $А$. Напряженность поля, создаваемая диполем на его оси в точке $А$, по модулю равняется (при $\epsilon =1$):

$E=\frac{p_1}{2{\mathrm{\pi \epsilon }}_0{\mathrm{r}}^3}$.

Выражение потенциальной энергии диполя с моментом $p_2$ в точке $А$ выражается формулой:

$W=-p_{2}E$.

Векторы напряженности и электрического момента диполя сонаправлены в состоянии устойчивого равновесия. Поэтому потенциальная энергия второго поля выражается как:

$W=-p_2\frac{p_1}{2{\mathrm{\pi \epsilon }}_0{\mathrm{r}}^3}$.

Ответ: потенциальные энергии диполей равняются $W=-p_2\frac{p_1}{2{\mathrm{\pi \epsilon }}_0{\mathrm{r}}^3}$.