RLC-контур. Свободные колебания

$RLC$-контур

Кроме как в механических системах, к примеру, в таких, маятник или же грузило на пружине, свободные колебания могут возникать также и в электрических цепях, самым простым примером чего может послужить последовательный $RLC$-контур, изображенный на рис. $2.2.1.$

Рисунок $2.2.1.$ Последовательный $RLC$-контур.

Находясь в положении $1$, ключ $К$ позволяет источнику зарядить конденсатор до некоего напряжения $\delta$. Процесс разрядки ранее заряженного конденсатора провоцируется переключением ключа $К$ во второе положение и происходит через катушку индуктивности $L$ и резистор $R$. При выполнении определенных условий данный процесс может приобретать характер колебательного.

Для не содержащей внешнего источника тока замкнутой $RLC$-цепи закон Ома представляет из себя выражение:

$JR+U=-L\frac{dJ}{dt}$.

В данной формуле $U=\frac{q}{C}$ – напряжение на конденсаторе, $q$ является обозначением заряда конденсатора, а $J=\frac{dq}{dt}$ – ток в цепи. Правой частью соотношения является выражение ЭДС самоиндукции катушки. В случае, когда заряд конденсатора $q \left(t\right)$ берется как переменная величина, описывающее свободные колебания в $RLC$-контуре уравнение может быть приведено к виду:

$\stackrel{··}{q}+\frac{R}{L}\stackrel{·}{q}+\frac{1}{LC}q=0$.

Для начала рассмотрим такую ситуацию, в которой электромагнитные потери энергии в контуре равны нулю. В таком случае:

$\stackrel{··}{q}+{\omega }_0^{2}q=0$.

Примем обозначение ${\omega }_0^2=\frac{1}{LC}$. Данным чуть выше уравнением описывается процесс незатухающих свободных колебаний в $LC$- контуре. Внешне оно полностью эквивалентно уравнению свободных колебаний груза на пружине в условиях отсутствующих сил трения. Аналогичный свободным механическим и электрическим колебаниям процесс изображен на рисунке $2.2.2.$ На данной иллюстрации приводятся графики зависимости заряда смещения $x \left(t\right)$ груза и $q \left(t\right)$ конденсатора от положения равновесия, а также графики изменений тока $J \left(t\right)$ и скорости груза $\upsilon \left(t\right)$ за период $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ колебаний.

Рисунок $2.2.2.$ Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

Сделать заключение о некой связи между механическими и электрическими величинами нам позволяет сопоставление процессов в электрическом колебательном контуре и свободных колебаний груза на пружине. Данные аналогии показаны в таблице.

Свободные колебания

Такие колебания происходят по закону:

$q\left(t\right)=q_0 \cos (\omega t+{\phi }_0)$.

Параметры $L$ и $C$ колебательного контура определяют лишь собственную частоту свободных колебаний:

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Затухающие колебания в электрическом контуре сравнимы с затухающими колебаниями груза на пружине в условиях существующего вязкого трения, при котором сила трения меняет свое значение прямо пропорционально скорости тела: $F_{тр}=–\beta \upsilon$.

В данной формуле сопротивление $R$ электрического контура аналогично коэффициенту $\beta$. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания принимает следующий вид:

$\stackrel{··}{q}+2\delta \stackrel{·}{q}+{\omega }_0^{2}q=0$

Следующая функция представляет собой решение приведенного выше дифференциального уравнения:

$q\left(t\right)=q_0{e}^{-\delta t}\cos (\omega t+{\phi }_0)$,

Также она содержит описывающий затухание колебаний множитель $exp (–\delta t)$. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления $R$ контура.

Понятие добротности $Q$ колебательной системы: 

$Q=\pi N=\pi \frac{\tau }{T}$,

где $N$ является числом полных колебаний, которые совершает система за время затухания $\tau$.

Добротность $Q$, принадлежащая $RLC$-контуру, выражают формулой: 

$Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

Добротность электрических контуров, которые применяются в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Стоит обратить внимание на то, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не самой высокой добротностью несколько уступает собственной частоте ${\omega }_0$ идеального контура с такими же значениями $L$ и $C$. Однако при $Q\ge (5÷10)$ данным различием можно пренебречь.

Рисунок $2.2.4.$ Модель свободных колебаний в $RLC$-контуре.