Скорость и ускорение в сферических координатах

4 июля 2023
4 минуты
1 568

Преподаватель физики

Движение в пространстве может быть задано, если известен закон изменения трех декартовых координат $x, y, z$ в качестве функции времени.

Определение 1

Имеются случаи, когда перемещение материальной точки не может быть описано с помощью уравнения движения в декартовых координатах, так как запись становится громоздкой. Тогда следует выбирать три независимые скалярные параметра $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ , называемые криволинейными (обобщенными) координатами, которые способны четко определить положение точки в пространстве.

Вектор скорости

Определение точки $М$ во время задания ее движения в криволинейных координатах возможно в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:

$υ = \frac{d \vec{r}}{d t} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{1}} {\dot{q}}_{1} + \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{2}} {\dot{q}}_{2} + \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{3}} {\dot{q}}_{3} = υ_{q_{1}} \bar{e_{1}} + υ_{q_{2}} \bar{e_{2}} + υ_{q_{3}} \bar{e_{3}}$ .

Запись проекции вектора скорости на соответствующие координаты оси примет вид:

${υ_{q}}_{i} = \bar{υ} \cdot \bar{e_{i}} = H_{i} \dot{q_{i}}, i = 1, 3$ .

Определение 2

$H_{i} = |{(\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}})}_{M}|$ является параметром, называющимся $i$ - м коэффициентом Ламе и равняющимся значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по $i$ - ой криволинейной координате, которая была вычислена в данной точке $М$ .

Направление каждого из векторов $e_{i}$ соответствует направлению движения точки конца радиус-вектора $r_{i}$ при возрастании $i$ - й обобщенной координаты.

Определение 3

Расчет модуля скорости в ортогональной криволинейной системе координат рассчитывается по формуле:

$υ = \sqrt{υ_{q_{1}}^{2} + υ_{q_{2}}^{2} + υ_{q_{3}}^{2}} = \sqrt{H_{1}^{2} {\dot{q}}_{1}^{2} + H_{2}^{2} {\dot{q}}_{2}^{2} + H_{3}^{2} {\dot{q}}_{3}^{2}}$ .

Чтобы вычислить текущее положение точки $М$ , необходимо найти производные и коэффициенты Ламе приведенных формул в пространстве.

В сферической системе координат координатами точки являются скалярные параметры $r, φ, θ$ , отсчитываемые так, как изображено на рисунке $1$ .

Вектор скорости

Рисунок $1$ . Вектор скорости в сферической системе координат

Ускорение системы

Составленная система уравнений движения точки запишется как:

$\{\begin{cases} r = r (t) \\ φ = φ (t) θ = θ (t) \end{cases}$ .

Определение 4

На рисунке $1$ показаны радиус-вектор, проведенный из начала координат, углы $φ$ и $θ$ , координатные линии, оси рассматриваемой системы в произвольной точке $М$ траектории.

Расположение координатных линий $(φ)$ и $(θ)$ идет на поверхности сферы радиусом $r$ . Данная система получила название ортогональной.

Выражение декартовых координат возможно через сферические:

$x = r \cos φ \sin θ; y = r \sin φ \cos θ; z = r \cos θ$ .

Отсюда следует, что коэффициенты Ламе $H_{r} = 1; H_{φ} = r \sin φ; H_{0} = r$ , проекции скорости точки на оси сферической системы координат $υ_{r} = \dot{r}; υ_{θ} = r \dot{θ}; υ_{φ} = r \dot{φ} \sin θ$ , а модуль вектора скорости $υ = \sqrt{υ_{r}^{2} + υ_{φ}^{2} + υ_{θ}^{2}} = \sqrt{{\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}}$ .

Запись ускорения в сферических координатах примет вид:

$\vec{a} = a_{r} \vec{e_{r}} + a_{φ} \vec{e_{φ}} + a_{θ} \vec{e_{θ}}$ .

А проекции ускорения точки:

$a_{r} = \dot{r} - r ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{φ}}^{2} \sin^{2} φ); a_{φ} = r \ddot{φ} \sin φ + 2 r \dot{φ} (\sin θ + \dot{θ} \cos θ); a_{θ} = r \ddot{θ} - r {\dot{φ}}^{2} \sin θ \cos θ + 2 \dot{r} \dot{θ} .$

Изображение модуля ускорения будет равняться $a = \sqrt{a_{r}^{2} + a_{φ}^{2} + a_{θ}^{2}}$ .

Пример 1

Задана точка, которая производит движение по линии пересечения сферы и цилиндра по уравнению $r = R, φ = \frac{k t}{2}, θ = \frac{k t}{2}$ , где $r, φ, θ$ являются сферическими координатами.

Произвести поиск модуля и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.

Решение

Необходимо найти проекции вектора скорости на оси сферических координат.

Получим:

$υ_{r} = \dot{r} = 0; υ_{φ} = r \dot{φ} \sin θ = R \frac{k}{2} \sin \frac{k t}{2}; υ_{θ} = r \dot{θ} = R \frac{k}{2}$ .

Определяем модуль скорости:

$υ = \sqrt{υ_{r}^{2} + υ_{φ}^{2} + υ_{θ}^{2}} = R \frac{k}{2} \sqrt{\sin^{2} \frac{k t}{2} + 1}$ .

Пример 2

Применив условие предыдущего задания, определить модуль ускорения точки.

Решение

Произведем нахождение проекции вектора ускорения на оси сферических координат.

Получаем, что:

$a_{r} = \dot{r} - r ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{φ}}^{2} \sin^{2} φ) = R \frac{k^{2}}{4} (1 + \sin^{2} \frac{k t}{2}); a_{φ} = r \ddot{φ} \sin φ + 2 r \dot{φ} (\sin θ + \dot{θ} \cos θ) = - R \frac{k^{2}}{2} \sin \frac{k t}{2}; a_{θ} = r \ddot{θ} - r \dot{φ} \sin θ \cos θ + 2 \dot{r} \dot{θ} = - R \frac{k^{2}}{4} \sin θ \cos \frac{k t}{2} .$

Далее определим модуль ускорения: $a = \sqrt{a_{r}^{2} + a_{φ}^{2} + a_{θ}^{2}} = R \frac{k^{2}}{4} \sqrt{4 + \sin^{2} \frac{k t}{2}}$ .

Ответ: $a = R \frac{k^{2}}{4} \sqrt{4 + \sin^{2} \frac{k t}{2}}$