Энергия магнитного поля в веществе

Содержание:

16 августа 2023
6 минут
261

Преподаватель физики

Допустим, что у нас есть магнитное поле, созданное фиксированным распределением токов в пространстве. Его индукцию можно вычислить так:

$\vec{B_{0}} (x, y, z) = μ_{o} \vec{H_{0}} (x, y, z)$ .

А энергию этого магнитного поля – так:

$W_{m} = B^{2} / 2 μ μ_{0}$ .

Теперь представим, что все пространство заполнено однородным магнетиком с магнитной проницаемостью, равной $μ = c o n s t$ . Примем, что поле создается тем же распределением токов. Тогда его напряженность не будет меняться:

$\vec{H} = \vec{H_{0}}$ .

А индукцию данного поля можно вычислить по формуле:

$B = \frac{F_{L}}{q υ \sin a}$ .

Тогда из двух предыдущих уравнений мы можем найти энергию магнитного поля при наличии магнетика:

$w_{m} = \frac{1}{2} \vec{H} \vec{B} = \frac{1}{2} \frac{B^{2}}{μ μ_{0}}$ .

Из данного выражения можно сделать вывод, что энергия магнитного поля растет по мере заполнения пространства однородным магнетиком. Это объясняется сторонними движущими силами, придающими энергию процессу, т.к. они поддерживают токи постоянными. Поскольку источники энергии остаются прежними и после заполнения пространства магнетиком, то можно предположить, что энергия магнетика во внешнем поле будет равна:

$W_{B} = \frac{1}{2} \int_{V} (\frac{1}{μ_{0}} - \frac{1}{μ}) B \cdot B_{i} d v$ .

Теперь вспомним о таких понятиях, как векторы напряженности и векторы намагниченности. Они связаны между собой выражением:

$M = χ_{m} H$ .

Здесь буквой $x$ обозначается магнитная восприимчивость, которая в случае с изотропными магнетиками соотносится с магнитной проницаемостью следующим образом:

$J = χ H$ .

Преобразуем подынтегральное выражение и используем формулы, выведенные до этого. Получим:

Тогда энергия магнетика будет равна:

Полученная формула будет иметь ту же структуру, что и формула вычисления энергии диэлектрика во внешнем электрическом поле, но с другим знаком справа. Она рассчитана изначально для магнетика, имеющего постоянную магнитную проницаемость, однако в других случаях ее также можно использовать.

Как изменяется энергия магнетика при изменении магнитной проницаемости среды

Возьмем среду с магнитной проницаемостью $μ_{2}$ , в которой находится магнетик с проницаемостью $μ_{1}$ . Тогда в соответствии с выведенной ранее формулой запишем, что:

Здесь $\vec{H_{2}}$ - это напряженность поля в точках магнетика с проницаемостью $μ_{2}$ (предположим, что другого магнетика у нас нет), $\vec{H_{1}}$ – фактическая напряженность поля в магнетике с проницаемостью
$μ_{1}$ .

Если магнитная проницаемость среды изменяется на бесконечно малую величину $δ μ = μ_{1} - μ_{2}$ , то энергия магнетика во внешнем магнитном поле напряженностью $\vec{H}$ изменяется на $δ W_{m}^{υ}$ .

Подставим в формулу $\vec{H_{2}} = \vec{H}, \vec{H_{1}} = \vec{H} + δ \vec{H}$ , откинем величину $δ μ δ \vec{H} \cdot \vec{H}$ и получим:

Решение задач на нахождение энергии магнитного поля

Пример 1

Условие: у нас есть соленоид с током без сердечника. Плотность энергии создаваемого им магнитного поля равна $0, 1 \frac{Д ж}{м^{3}}$ . Найдите увеличение плотности энергии при включении в соленоид железного сердечника. Сила тока при этом останется прежней.

Решение

Сразу отметим, что магнитная проницаемость среды для соленоида без сердечника будет равна единице. Чтобы найти напряженность магнитного поля соленоида, используем следующую формулу:

$w = \frac{μ μ_{0} H^{2}}{2}$ .

Выразим напряженность из формулы и получим:

$H = \sqrt{\frac{2 w}{μ μ_{0}}}$ .

При включении в соленоид сердечника напряженность поля останется прежней, а для вычисления индукции возьмем эту формулу:

$H = \sqrt{\frac{2 \cdot 0, 1}{4 π \cdot 10^{- 7}}} = 0, 4 \cdot 10^{3}$ .

Для нахождения индукции по напряженности магнитного поля в железном сердечнике нам нужно будет заглянуть в справочник. Он может быть представлен как в табличной, так и графической форме. Найдем там нужную величину, равную $B \approx 1 Т л$ . Теперь перейдем к вычислению плотности магнитной энергии поля соленоида с железным сердечником:

$w' = \frac{B H}{2}$ .

Теперь вычисляем значение $w'$ :

$w' = \frac{1 \cdot 400}{2} = 200$ .

После чего найдем искомое соотношение плотностей:

$\frac{w'}{w} = \frac{200}{0, 1} = 2000$ .

Ответ: при включении железного сердечника плотность энергии возрастет в $2$ тысячи раз.

Пример 2

Условие: у нас есть квадратная железная рамка с обмоткой из $n$ -ного количества витков, по которой течет ток с силой $I$ . В ней есть прорезь шириной $a$ . Вычислите величину энергии магнитного поля в зазоре рамки, если длина ее средней линии равна $d$ , а площадь поперечного сечения – $S$ . Магнитную проницаемость рамки взять равной $μ$ , рассеяние поля в краях прорези не учитывать.

Решение

Начнем с вычисления напряженности магнитного поля в самой рамке и ее зазоре. Для этого нам понадобится теорема о циркуляции:

$\oint_{L} \vec{H} d \vec{l} = \sum_{k = 1}^{N} I_{k}$ .

Согласно условиям нашей задачи, основная формула будет иметь следующий вид:

$H (d - a) + H a = I N \to H = \frac{I N}{d}$ .

Теперь найдем величину магнитной индукции в зазоре:

$\vec{B} = μ_{0} \vec{H}$ .

Подставим нужные значения и вычислим:

$H (d - a) + \frac{B}{μ_{0}} a = I N \to B = \frac{μ_{0} I N}{a} - \frac{μ_{0} (d - a) H}{a}$ .

Энергия магнитного поля в зазоре будет равна:

$W_{m 1} = \frac{B H}{2} S \cdot a = \frac{1}{2} (\frac{μ_{0} I N}{a} - \frac{μ_{0} (d - a) \frac{I N}{d}}{a}) \frac{I N}{d} \cdot S \cdot a = \frac{1}{2} \frac{μ_{0} a (I N)^{2} S}{d}$ .

Теперь вычислим магнитную энергию в сердечнике:

$W_{m 2} = \frac{μ μ_{0} H^{2}}{2} S (d - a) = \frac{μ μ_{0} H^{2}}{2} {(\frac{I N}{d})}^{2} (d - a)$ .

Нам осталось только найти полную энергию поля:

$W_{m} = W_{m 1} + W_{m 2} = \frac{1}{2} \frac{μ_{0} a (I N)^{2} S}{d} + \frac{μ μ_{0} H^{2}}{2} {(\frac{I N}{d})}^{2} (d - a) = \frac{1}{2} μ_{0} S \frac{(I N)^{2}}{d} (a + \frac{μ}{d} (d - a))$ .