Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

27 ноября 2023
6 минут
4 491

Преподаватель физики

Было выявлено, что на заряд $q$ , находящийся в электростатическом поле, действуют консервативные силы, причем работа $А$ на замкнутом пути $L$ равняется нулю:

$A = \oint_{L} \bar{F} \bar{d r} = q \oint_{L} \bar{E} \bar{d r} = 0$ , где $r$ - это вектор перемещения. Данный интеграл представляет собой циркуляцию вектора напряженности электростатического поля.

Если единичный заряд положительный, то запись приобретает совсем другой вид. Интеграл левой части уравнения и является циркуляцией вектора напряженности по контуру $L$ .

Теорема о циркуляции

Теорема 1

Электростатическое поле характеризуется циркуляцией его вектора напряженности по замкнутому полю и равняется нулю. Утверждение называют теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Доказательство 1

Для ее доказательства основываются на работе поля по перемещению заряда, не зависящую от ее траектории. $L_{1}$ и $L_{2}$ обозначают в качестве различных путей между точками $А$ и $В$ . При замене их местами получим $L = L_{1} + L_{2}$ . Теорема доказана

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Так как линии на напряженности электростатического поля незамкнуты, то это применяют в качестве следствия. Их начало идет с положительных зарядов, а заканчивается отрицательными или их уходом в бесконечность. Теорема верна для статичных зарядов.

Еще одним следствием является непрерывность тангенциальных составляющих напряженности. Это говорит о том, что ее компоненты, являющиеся касательными к выбранной любой поверхности во всякой точке, на обеих сторонах содержат одинаковые значения.

Необходимо выделить произвольную часть поверхности $S$ , которая опирается на контур $L$ .

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Рисунок $1$

Определение 1

По формуле Стокса интеграл от ротора вектора напряженности $r o t \vec{E}$ , взятый по поверхности
$S$ , равняется циркуляции вектора напряженности вдоль контура, на который опирается данная поверхность.

Значение $d \vec{S} = d S \cdot \vec{n}$ , $\vec{n}$ является единичным вектором, перпендикулярным участку $d S$ . Интенсивность «завихрения» вектора характеризуется ротором $r o t \vec{E}$ . Это рассматривают на примере наличия крыльчатки, помещенной в жидкости, изображаемой на рисунке $2$ . Если ротор не равняется нулю, то крыльчатка будет продолжать вращение, причем с ростом скорости вращения увеличится модуль проекция ротора на ось крыльчатки.

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Рисунок $2$

Для вычисления ротора применяют формулы:

Если использовать уравнение $(6)$ , то циркуляция вектора напряженности будет равной нулю.

При выполнении условия $(8)$ для любой поверхности $S$ , упирающейся на контур $L$ , возможно с подынтегральным выражением, причем для каждой точки поля.

Действие производится аналогично крыльчатке из рисунка $2$ . На ее концах имеются одинаковые заряды, равные $q$ . Вся система находится в однородном поле с напряженностью $E$ . Если $r o t \vec{E} \neq 0$ , то предусмотрено вращение с ускорением, зависящим от проекции ротора на ось крыльчатки. Если поле электростатическое, тогда движение по окружности не происходило бы ни при каком расположении оси. Основная отличительная особенность электростатического поля в том, что оно является безвихревым.

Определение 2

Представление теоремы о циркуляции в дифференциальном виде:

$r o t \bar{E} = 0$

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса — Пример 1