Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Было выявлено, что на заряд $q$, находящийся в электростатическом поле, действуют консервативные силы, причем работа $А$ на замкнутом пути $L$ равняется нулю:

$A={\oint }_L\overline{F}\overline{dr}=q{\oint }_L\overline{E} \overline{dr}=0$, где $\overline{r}$ - это вектор перемещения. Данный интеграл представляет собой циркуляцию вектора напряженности электростатического поля.

Если единичный заряд положительный, то запись приобретает совсем другой вид. Интеграл левой части уравнения и является циркуляцией вектора напряженности по контуру $L$.

Теорема о циркуляции

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Так как линии на напряженности электростатического поля незамкнуты, то это применяют в качестве следствия. Их начало идет с положительных зарядов, а заканчивается отрицательными или их уходом в бесконечность. Теорема верна для статичных зарядов.

Еще одним следствием является непрерывность тангенциальных составляющих напряженности. Это говорит о том, что ее компоненты, являющиеся касательными к выбранной любой поверхности во всякой точке, на обеих сторонах содержат одинаковые значения.

Необходимо выделить произвольную часть поверхности $S$, которая опирается на контур $L$.

Рисунок $1$

Значение $d\overrightarrow{S}=dS·\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{n}$ является единичным вектором, перпендикулярным участку $dS$ . Интенсивность «завихрения» вектора характеризуется ротором $rot \overrightarrow{E}$. Это рассматривают на примере наличия крыльчатки, помещенной в жидкости, изображаемой на рисунке $2$. Если ротор не равняется нулю, то крыльчатка будет продолжать вращение, причем с ростом скорости вращения увеличится модуль проекция ротора на ось крыльчатки.

Рисунок $2$

Для вычисления ротора применяют формулы:

Если использовать уравнение $\left(6\right)$, то циркуляция вектора напряженности будет равной нулю.

При выполнении условия $\left(8\right)$ для любой поверхности $S$, упирающейся на контур $L$, возможно с подынтегральным выражением, причем для каждой точки поля.

Действие производится аналогично крыльчатке из рисунка $2$. На ее концах имеются одинаковые заряды, равные $q$. Вся система находится в однородном поле с напряженностью $E$. Если $rot \overrightarrow{E}\ne 0$, то предусмотрено вращение с ускорением, зависящим от проекции ротора на ось крыльчатки. Если поле электростатическое, тогда движение по окружности не происходило бы ни при каком расположении оси. Основная отличительная особенность электростатического поля в том, что оно является безвихревым.