Распределение Максвелла-Больцмана

Определение 1

Распределение (или закон) Максвелла--Больцмана описывает распределение молекул газа по координатам и скоростям при системном воздействии внешнего потенциального поля.

Это распределение выводится из распределения Гиббса $(1)$ $(1)$ :

где $W p$ $W p$ – вероятность одного из состояний системы с энергией $ε p$ $ε p$ (полная энергия, состоящая из кинетической и потенциальной, которая присуща частицам). Рассмотрим чаще всего используемые формы распределения Максвелла-Больцмана.

Формы распределения Максвелла-Больцмана

Формула распределения для концентрации частиц

$d n (ν; x, y, z) = \frac{4 n_{0}}{\sqrt{π} {ν_{ν e r}}_{ν e r}^{3}} e x p open - \frac{1}{ν_{ν e r}} (ν^{2} + \frac{2 U (x, y, z)}{m_{0}})] ν^{2} d v d V (2)$ $d n (ν; x, y, z) = \frac{4 n_{0}}{\sqrt{π} {ν_{ν e r}}^{3}} e x p open- \frac{1}{ν_{ν e r}} (ν^{2} + \frac{2 U (x, y, z)}{m_{0}})] ν^{2} d v d V (2)$ .

Здесь $d n (v; x; y; z)$ $d n (v; x; y; z)$ – количество частиц, присутствующих в выделенном объеме газа $d V$ $d V$ . Около точки, имеющей координаты $(x, y, z)$ $(x, y, z)$ , скорости молекул будут находиться в интервале от $v$ $v$ до $v + d v$ $v + d v$ . В указанной формуле $v_{v e r}$ $v_{v e r}$ есть наиболее вероятная скорость молекул; $m_{0}$ $m_{0}$ – является массой молекулы газа; $U (x, y, z)$ $U (x, y, z)$ – это потенциальная энергия частицы в точке с соответствующими координатами и, наконец, $n_{0}$ $n_{0}$ есть концентрация частиц газа в точке с потенциальной нулевой энергией.

Формула распределения для вероятности импульса и координаты

$d w ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ p_{x}, p_{y}, p_{z}, x, y, z ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = A \cdot \frac{1}{(2 π m_{0} k T)^{\frac{3}{2}}} e x p (- \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2 m_{0} k T}) d p_{x} d p_{y} d p_{z} e x p (- \frac{U (x, y, z)}{k T}) d x d y d z ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ $d w (p_{x}, p_{y}, p_{z}, x, y, z) = = A \cdot \frac{1}{(2 π m_{0} k T)^{\frac{3}{2}}} e x p (- \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2 m_{0} k T}) d p_{x} d p_{y} d p_{z} e x p (- \frac{U (x, y, z)}{k T}) d x d y d z (3) .$

В данном выражении $d w (p_{x}, p_{y}, p_{z}, x, y, z)$ $d w (p_{x}, p_{y}, p_{z}, x, y, z)$ – переменная, показывающая вероятность нахождения частицы в фазовом объеме $d x d y d z d p_{x} d p_{y} d p_{z}$ $d x d y d z d p_{x} d p_{y} d p_{z}$ возле фазовой точки $(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z})$ $(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z})$ ; $U (x, y, z)$ $U (x, y, z)$ – потенциальная энергия молекулы внешнего поля. В данной формуле распределение Максвелла-Больцмана рассматривается в виде произведения двух вероятностей событий, не зависящих друг от друга: вероятность $d w (p_{x}, p_{y}, p_{z})$ $d w (p_{x}, p_{y}, p_{z})$ , что молекула имеет импульс $(p_{x}, p_{y}, p_{z})$ $(p_{x}, p_{y}, p_{z})$ и вероятность $d w (x, y, z)$ $d w (x, y, z)$ нахождения молекулы в точке $(x, y, z)$ $(x, y, z)$ . В таком случае выражение $(3)$ $(3)$ разложится на распределение Максвелла:

$d w (p_{x}, p_{y}, p_{z}) = \frac{1}{{(2 {πm}_{0} kT)}^{\frac{3}{2}}} e x p (- \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2 m_{0} k T}) d p_{x} d p_{y} d p_{z} (4)$ $d w (p_{x}, p_{y}, p_{z}) = \frac{1}{{(2 {πm}_{0} kT)}^{\frac{3}{2}}} e x p (- \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2 m_{0} k T}) d p_{x} d p_{y} d p_{z} (4)$ ,

и распределение Больцмана:

$d w (x, y, z) = A e x p (- \frac{U (x, y, z)}{k T}) d x d y d z (5)$ $d w (x, y, z) = A e x p (- \frac{U (x, y, z)}{k T}) d x d y d z (5)$ .

Таким образом, распределения Максвелла и Больцмана служат составляющими элементами распределения Гиббса. Энергия молекул, движущихся в поле тяжести вверх, получает уменьшение, но в распределении Максвелла-Больцмана по скоростям средняя энергия при этом неизменна. Сохранность средней энергии частиц, когда происходит уменьшение энергии отдельно взятой молекулы, возможно благодаря выбыванию молекул с меньшей энергией из потока при увеличении высоты. Средняя энергия молекул, движущихся вниз, постоянна из-за присоединения к потоку молекул, выбывших из потока, направленного вверх.

Сходство между распределениями Максвелла и Больцмана

Распределения Максвелла и Больцмана обладают общей чертой: и в том и в другом случае законы включают в себя экспоненту, чей показатель в числителе содержит энергию молекулы (кинетическую у Максвелла, потенциальную у Больцмана), а в знаменателе имеют величину $- k T$ $- k T$ , определяющую среднюю энергию теплового движения молекул. Собственно, именно эта схожая черта и дает возможность объединять два распределения в один закон Максвелла-Больцмана.

Рассмотрим практические задачи на распределение Максвелла-Больцмана.

Сходство между распределениями Максвелла и Больцмана — Пример 1

Пример 2

Необходимо определить количество молекул кислорода, чьи скорости находятся в пределах от $195 м / с$ до $205 м / с$ при температуре $Т = 273 К$ . Масса водорода $(m) = 0, 1 к г$ .

Решение

Заданный условием скоростной интервал невелик, т.е. допустимо применять теорему о среднем, и тогда:

$\frac{∆ N}{N} \approx 4 π {(\frac{m_{O_{2}}}{2 πkT})}^{\frac{3}{2}} e x p (- \frac{m_{O_{2}} v^{2}}{2 k T}) v^{2} ∆ v; ∆ N \approx 4 πN {(\frac{m_{O_{2}}}{2 πkT})}^{\frac{3}{2}} \exp (- \frac{m_{O_{2}} v^{2}}{2 kT}) v^{2} ∆ v (2.1) .$

В данном выражении $v = 200 м / с$ , $Δ v = 10 м / с$ , $\frac{m_{O_{2}}}{μ_{O_{2}}} = \frac{1}{N_{A}} \to m_{O_{2}} = \frac{μ_{O_{2}}}{N_{A}}$ , $\frac{m}{μ_{O_{2}}} = \frac{N}{N_{A}} \to N = \frac{m N_{A}}{μ_{O_{2}}}$ .

Подставим полученное в $(2.1)$ :

$∆ N \approx 4 π \frac{m N_{A}}{μ_{O_{2}}} {(\frac{\frac{μ_{O_{2}}}{N_{A}}}{2 π k T})}^{\frac{3}{2}} e x p (- \frac{\frac{μ_{O_{2}}}{N_{A}} v^{2}}{2 k T}) v^{2} ∆ v (2.2)$ .

Теперь в выражении $(2.2)$ применим конкретные числовые значения и осуществим расчет:

$∆ N = \frac{4 \cdot 3, 14 \cdot 0, 1 \cdot 6 \cdot 10^{23}}{32 \cdot 10^{- 3}} {(\frac{\frac{32 \cdot 10^{- 3}}{6 \cdot 10^{23}}}{2 \cdot 3, 14 \cdot 1, 38 \cdot 10^{- 23} \cdot 273})}^{\frac{3}{2}} e x p (- \frac{\frac{32 \cdot 10^{- 3}}{6 \cdot 10^{23}} \cdot (200)^{2}}{2 \cdot 1, 38 \cdot 10^{- 23} \cdot 273})$

Ответ: искомое количество молекул кислорода в заданных условиях равно порядка $2, 3 \cdot 1022$ .