Распределение Максвелла-Больцмана

Это распределение выводится из распределения Гиббса $\left(1\right)$:

где $Wp$ – вероятность одного из состояний системы с энергией $\epsilon p$ (полная энергия, состоящая из кинетической и потенциальной, которая присуща частицам). Рассмотрим чаще всего используемые формы распределения Максвелла-Больцмана.

Формы распределения Максвелла-Больцмана

Формула распределения для концентрации частиц

$dn(\nu ; x, y, z)=\frac{4n_0}{\sqrt{\mathrm{\pi }}{{\nu }_{\nu er}}^3}exp\left[-\frac{1}{{\nu }_{\nu er}}\left({\nu }^2+\frac{2U(x, y, z)}{m_0}\right)\right]{\nu }^{2}dvdV \left(2\right)$.

Здесь $dn(v; x; y; z)$ – количество частиц, присутствующих в выделенном объеме газа $dV$. Около точки, имеющей координаты $(x, y, z)$, скорости молекул будут находиться в интервале от $v$ до $v+dv$. В указанной формуле $v_{ver}$ есть наиболее вероятная скорость молекул; $m_0$ – является массой молекулы газа; $U(x, y, z)$ – это потенциальная энергия частицы в точке с соответствующими координатами и, наконец, $n_0$ есть концентрация частиц газа в точке с потенциальной нулевой энергией.

Формула распределения для вероятности импульса и координаты

$$\begin{gathered} dw(p_x, p_y, p_z, x, y, z) = \\ =A·\frac{1}{(2\pi m_{0}kT{)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}exp\left(-\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m_{0}kT}\right)d{p}_{x}d{p}_{y}d{p}_{z}exp\left(-\frac{U(x, y, z)}{kT}\right)dxdydz \left(3\right). \end{gathered}$$

В данном выражении $dw(p_x, p_y, p_z, x, y, z)$ – переменная, показывающая вероятность нахождения частицы в фазовом объеме $dxdydzd{p}_{x}d{p}_{y}d{p}_z$ возле фазовой точки $\left(x, y, z, p_x, p_y, p_z\right)$; $U(x, y, z)$ – потенциальная энергия молекулы внешнего поля. В данной формуле распределение Максвелла-Больцмана рассматривается в виде произведения двух вероятностей событий, не зависящих друг от друга: вероятность $dw(p_x, p_y, p_z)$, что молекула имеет импульс $(p_x, p_y, p_z)$ и вероятность $dw(x, y, z)$ нахождения молекулы в точке $(x, y, z)$. В таком случае выражение $\left(3\right)$ разложится на распределение Максвелла:

$dw(p_x, p_y, p_z)=\frac{1}{{\left(2{\mathrm{\pi m}}_0\mathrm{kT}\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}exp\left(-\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m_{0}kT}\right)d{p}_{x}d{p}_{y}d{p}_z \left(4\right)$,

и распределение Больцмана:

$dw\left(x, y, z\right)=Aexp\left(-\frac{U(x, y, z)}{kT}\right)dxdydz \left(5\right)$.

Таким образом, распределения Максвелла и Больцмана служат составляющими элементами распределения Гиббса. Энергия молекул, движущихся в поле тяжести вверх, получает уменьшение, но в распределении Максвелла-Больцмана по скоростям средняя энергия при этом неизменна. Сохранность средней энергии частиц, когда происходит уменьшение энергии отдельно взятой молекулы, возможно благодаря выбыванию молекул с меньшей энергией из потока при увеличении высоты. Средняя энергия молекул, движущихся вниз, постоянна из-за присоединения к потоку молекул, выбывших из потока, направленного вверх.

Сходство между распределениями Максвелла и Больцмана

Распределения Максвелла и Больцмана обладают общей чертой: и в том и в другом случае законы включают в себя экспоненту, чей показатель в числителе содержит энергию молекулы (кинетическую у Максвелла, потенциальную у Больцмана), а в знаменателе имеют величину $-kT$, определяющую среднюю энергию теплового движения молекул. Собственно, именно эта схожая черта и дает возможность объединять два распределения в один закон Максвелла-Больцмана.

Рассмотрим практические задачи на распределение Максвелла-Больцмана.