Средняя скорость молекул

Необходимо определить, как изменяется средняя скорость движения молекул идеального газа с увеличением давления в процессе, изображенном на графике (рисунок $1$).

Рисунок $1$

Решение

Запишем выражение для средней скорости движения молекул газа следующим образом:

$open\upsilon >=\sqrt{\frac{8kT}{{\mathrm{\pi m}}_0}}$

Из графика видно, что $p~\rho$ или $p=C\rho$,  где $C$ – это некоторая константа.

$m_0=\frac{\rho }{n}, p=nkT=C\rho \to kT=\frac{C\rho }{n}$

Подставив $m_0=\frac{\rho }{n}, p=nkT=C\rho \to kT=\frac{C\rho }{n}$ в $open\upsilon >=\sqrt{\frac{8kT}{{\mathrm{\pi m}}_0}}$, получаем:

$open\upsilon >=\sqrt{\frac{8kT}{{\mathrm{\pi m}}_0}}=\sqrt{\frac{8C\rho }{\pi n}\frac{n}{\rho }}=\sqrt{\frac{8C}{\mathrm{\pi }}}$

Ответ: В процессе, представленном на графике, с увеличением давления средняя скорость движения молекул не меняется.

Можно ли найти среднюю квадратичную скорость молекулы идеального газа, если известно: давление газа $\left(p\right)$, молярная масса газа $\left(\mu \right)$, а также концентрация молекул газа $\left(n\right)$?

Решение

Применим выражение для $open{\upsilon }_{k\upsilon }>$:

$open{\upsilon }_{k\upsilon }>=\sqrt{\frac{3RT}{\mu }}$

Помимо этого, из уравнения Менделеева-Клайперона и зная, что $\frac{m}{\mu }=\frac{N}{N_A}$:

$pV=\frac{m}{\mu }RT=\frac{N}{N_A}RT$.

Поделим правую и левую части $pV=\frac{m}{\mu }RT=\frac{N}{N_A}RT$ на $V$, и зная $\frac{N}{V}=n$, получаем:

$p=\frac{n}{N_A}RT\to RT=\frac{p{N}_A}{n}$

Подставляем $p=\frac{n}{N_A}RT\to RT=\frac{p{N}_A}{n}$ в выражение для среднеквадратичной скорости $open{\upsilon }_{k\upsilon }>=\sqrt{\frac{3RT}{\mu }}$, получаем:

$open{\upsilon }_{k\upsilon }>=\sqrt{\frac{3p{N}_A}{\mu n}}$

Ответ: По заданным в условии задачи параметрам среднеквадратичная скорость движения молекул газа вычисляется при помощи формулы $open{\upsilon }_{k\upsilon }>=\sqrt{\frac{3p{N}_A}{\mu n}}$.