Закон всемирного тяготения. Движение тел под действием силы тяжести

Исходя из трактовки второго закона Ньютона, можно сделать вывод, что изменение движения происходит посредствам силы. Механика рассматривает силы различной физической природы. Многие из них определяются с помощью действия сил тяготения.

Закон всемирного тяготения. Формулы

В $1862$ году был открыт закон всемирного тяготения И. Ньютоном. Он предположил, что силы, удерживающие Луну, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. Смысл гипотезы состоит в наличии действия сил притяжения, направленных по линии и соединяющих центры масс, как изображено на рисунке $1.10.1.$ Шаровидное тело имеет центр массы, совпадающий с центром шара.

Рисунок $1.10.1.$ Гравитационные силы притяжения между телами. $\overrightarrow{F_1}=-\overrightarrow{F_2}$.

Далее, Ньютон искал физическое объяснение законам движения планет, которые открыл И. Кеплер в начале XVII века, и давал количественное выражение для гравитационных сил.

Основная задача механики – определение координат тела известной массы с его скоростью в любой момент времени при помощи известных сил, действующих на тело, и заданным условием (прямая задача). Обратная же выполняется с определением действующих сил на тело с известным его направлением. Такие задачи привели ученого к открытию определения закона всемирного тяготения.

Ускорение свободного падения

$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$.

Значение $G$ определяет коэффициент пропорциональности всех тел в природе, называемое гравитационной постоянной и обозначаемое по формуле $G=6,67·{10}^{-11} Н·{м}^2/к{г}^2 \left(СИ\right)$.

Большинство явлений в природе объясняются наличием действия силы всемирного тяготения. Движение планет, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все объясняется законом тяготения и динамики.

Когда $М$ обозначается как масса Земли, $R_{З}$– радиус, $m$ – масса тела, то формула силы тяжести принимает вид:

$F=G\frac{M}{R_{З}^2}m=mg$.

Где $g$ – ускорение свободного падения, равняющееся $g=G\frac{M}{R_{З}^2}$.

Сила тяжести направлена к центру Земли, как показано в примере Луна-Земля. При отсутствии действия других сил тело движется с ускорением свободного падения. Его среднее значение равняется $9,81 м/{с}^2$. При известном $G$ и радиусе $R_3=6,38·{10}^6 м$ производятся вычисления массы Земли $М$ по формуле:

$M=\frac{g{R}_3^2}{G}=5,98·{10}^{24} кг$.

Если тело удаляется от поверхности Земли, тогда действие силы тяготения и ускорения свободного падения меняются обратно пропорционально квадрату расстояния $r$ к центру. Рисунок $1.10.2$ показывает, как изменяется сила тяготения, действующая на космонавта корабля, при удалении от Земли. Очевидно, что $F$ притягивания его к Земле равняется $700 Н$.

Рисунок $1.10.2.$ Изменение силы тяготения, действующей на космонавта при удалении от Земли.

Искусственные спутники Земли

Движение искусственных спутников зафиксировано за пределами земной атмосферы, поэтому на них оказывают действие силы тяготения Земли. Траектория космического тела может изменяться в зависимости от начальной скорости. Движение искусственного спутника по околоземной орбите приближенно принимается  в качестве расстояния до центра Земли, равняющемуся радиусу $R_{З}$. Они летают на высотах $200-300 км$. 

Применив кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получаем

$a_n=\frac{{\upsilon }_1^2}{R_{З}}=g, {\upsilon }_1=\sqrt{g{R}_{З}}=7, 91·{10}^3 м/с$.

При такой скорости спутник смог облететь Землю за время, равное $T_1=\frac{2{\mathrm{\pi R}}_{\mathrm{З}}}{{\upsilon }_1}=84 мин 12 с$.

Но период обращения спутника по круговой орбите вблизи Земли намного больше, чем указано выше, так как существует различие между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли.

Спутник движется по принципу свободного падения, отдаленно похожее на траекторию снаряда или баллистической ракеты. Разница заключается в большой скорости спутника, причем радиус кривизны его траектории достигает длины радиуса Земли.

Спутники, которые движутся по круговым траекториям на больших расстояниях, имеют ослабленное земное притяжение, обратно пропорциональное квадрату радиуса r траектории. Тогда нахождение скорости спутника следует по условию:

$\frac{{\upsilon }^2}{к}=g\frac{R_3^2}{r^2}, \upsilon =\sqrt{g{R}_3}\sqrt{\frac{R_{З}}{r}}={\upsilon }_1\sqrt{\frac{R_3}{r}}$.

Поэтому, наличие спутников на высоких орбитах говорит о меньшей скорости их движения, чем с околоземной орбиты. Формула периода обращения равняется:

$T=\frac{2\mathrm{\pi r}}{\upsilon }=\frac{2\mathrm{\pi r}}{{\upsilon }_1}\sqrt{\frac{r}{R_{З}}}=\frac{2{\mathrm{\pi R}}_{\mathrm{з}}}{{\upsilon }_1}{\left(\frac{r}{R_3}\right)}^{3/2}=T_1\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{R_{З}}\right)$.

$T_1$ принимает значение периода обращения спутника по околоземной орбите. $Т$ возрастает с размерами радиуса орбиты. Если $r$ имеет значение $6,6 R_3$ то $Т$ спутника равняется $24$ часам. При его запуске в плоскости экватора, будет наблюдаться, как висит над некоторой точкой земной поверхности. Применение таких спутников известно в системе космической радиосвязи. Орбиту, имеющую радиус $r=6,6 R_{З}$, называют геостационарной.

Рисунок $1.10.3.$ Модель движения спутников.