Преобразования Лоренца

30 декабря 2023
9 минут
2 230

Преподаватель физики

Ранее мы уже изучили формулы, называемые классическими преобразованиями Галилея, однако они несовместимы с постулатами специальной теории относительности (СТО). Поэтому в данном случае нам нужно использовать другие положения. Благодаря новым преобразованиям мы сможем установить, какая связь существует между некоторым моментом события $t$ , наблюдаемого в системе отсчета $K$ в точке с координатами $(x, y, z)$ и показателями того же события, которое наблюдается в системе отсчета $K'$ .

Определение 1

Преобразования Лоренца представляют собой кинематические формулы, с помощью которых происходит преобразование координат и времени в специальной теории относительности.

Они были впервые сформулированы еще в $1904$ году в качестве преобразований, относительно которых были инвариантны уравнения электродинамики.

Обозначим основные системы $K$ и $K'$ , скорость их движения – $υ$ , а ось, вдоль которой они движутся – $x$ . В таком случае преобразования Лоренца примут следующий вид:

$K' \to K \{\begin{cases} x = \frac{x' + υ t'}{\sqrt{1 - β^{2}}}, \\ y = y', z = z', t = \frac{t' + υ x' / c^{2}}{\sqrt{1 - β^{2}}} . \end{cases}$ $K \to K' \{\begin{cases} x' = \frac{x - υ t}{\sqrt{1 - β^{2}}}, \\ y' = y, z' = z, t' = \frac{t - υ x / c^{2}}{\sqrt{1 - β^{2}}} . \end{cases}$

$β = \frac{υ}{c}$ .

Используя эти формулы, мы можем вывести из них множество следствий. Так, именно из системы преобразований Лоренца следует лоренцево сокращение длины и релятивистский эффект замедления времени.

Пример 1

Возьмем случай, когда в системе $K'$ происходит некий процесс, длительность которого составляет $τ_{0} = t'_{2} - t'_{1}$ (по собственному времени). Здесь $t'_{1}$ и $t'_{2}$ – это время на часах в начале данного процесса и в его конце. Чтобы вычислить его общую продолжительность в точке $x$ , необходимо взять для расчета следующую формулу:

$τ = t_{2} - t_{1} = \frac{t'_{2} + υ x' / c^{2}}{\sqrt{1 - β^{2}}} - \frac{t'_{1} + υ x' / c^{2}}{\sqrt{1 - β^{2}}} = \frac{t'_{2} - t'_{1}}{\sqrt{1 - β^{2}}} = \frac{τ_{0}}{\sqrt{1 - β^{2}}}$ .

Формула релятивистского сокращения длины выводится из преобразований Лоренца точно таким же образом.

Принцип относительности одновременности

Еще одно важное следствие, которое необходимо знать, – это положение о том, что любая одновременность относительна.

Пример 2

Например, если в системе отсчета $K'$ взять две разные точки, в которых некий процесс будет протекать одновременно (с позиции стороннего наблюдателя), то в системе наблюдатель будет иметь следующее:

$x_{1} = \frac{x'_{1} + υ t'}{\sqrt{1 - β^{2}}}, x_{2} = \frac{x'_{2} + υ t'}{\sqrt{1 - β^{2}}} \Rightarrow x_{1} \neq x_{2}, t_{1} = \frac{t' + υ x'_{1} / c^{2}}{\sqrt{1 - β^{2}}}, t_{2} = \frac{t' + υ x'_{2} / c^{2}}{\sqrt{1 - β^{2}}} \Rightarrow t_{1} \neq t_{2} .$

Из этого вытекает пространственная разобщенность данных событий в системе $K$ , следовательно, они не могут считаться одновременными. Нельзя сразу сказать, какое событие будет происходить первым, а какое вторым, поскольку это определяется особенностями системы отсчета – знак разности будет определен знаком выражения $υ (x'_{2} - x'_{1})$ .

Если между событиями имеется причинно-следственная связь, то данный вывод специальной теории относительности для них использовать нельзя. Однако мы можем показать, что при этом не нарушается принцип причинности, и события следуют в нужном порядке в любой инерциальной системе отсчета.

Разберем пример, показывающий, что одновременность разобщенных в пространстве событий является относительной.

Принцип относительности одновременности — Пример 3

Инвариантные величины в СТО

Данные преобразования нужны нам для выражения относительного характера временных промежутков и промежутков расстояний. Вместе с тем в специальной теории относительности помимо утверждения относительного характера времени и пространства очень важно установить инвариантные физические величины, не изменяющиеся при смене системы отсчета. Подобной величиной является скорость света в вакууме, чей характер в рамках СТО становится абсолютным. Также важна такая величина, как интервал между событиями, поскольку именно она выражает абсолютность пространственно-временной связи.

Для вычисления пространственно-временного интервала необходимо использовать следующую формулу:

$s_{12} = \sqrt{c^{2} t_{12}^{2} - l_{12}^{2}}$ .

В ней с помощью параметра $l_{12}$ выражено расстояние между точками одной системы, где совершаются события, а $t_{12}$ – это временной промежуток между теми же самыми событиями. Если местом одного из событий является начало координат, т.е. $x_{1} = y_{1} = z_{1} = 0$ и $(t_{1} = 0)$ , а второе происходит в точке с координатами $x, y, z$ в некоторое время $t$ , то формула вычисления пространственно-временного интервала между ними записывается так:

$s = \sqrt{c^{2} t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2}}$ .

Преобразования Лоренца дают нам возможность доказать неизменность пространственно-временного интервала между событиями при смене инерциальной системы.

Определение 2

Если величина интервала не зависит от того, какая система отсчета используется, т.е. является объективной при любых относительных расстояниях и временных промежутках, то такой интервал называется инвариантным.

Пример 4

Допустим, что у нас есть событие (вспышка света), которое произошло в точке начала координат в некоторой системе во время, равное $0$ , а потом свет переместился в другую точку с координатами $x, y, z$ во время $t$ . Тогда мы можем записать следующее:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2} t^{2}$ .

У нас получилось, что интервал этой пары событий будет равен нулю. Если мы поменяем систему координат и возьмем другое время для второго события, то результаты окажутся точно такими же, поскольку:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2} t^{2}$

Иначе говоря, любые два события, которые связывает между собой световой сигнал, будут иметь нулевой пространственно-временной интервал.

Также формулы Лоренца для времени и координат можно использовать для выведения релятивистского закона сложения скоростей.

Пример 5

Например, у нас есть частица, которая находится в системе отсчета $K'$ и движется в ней вдоль оси абсцисс со скоростью $u'_{x} = \frac{d x'}{d t'}$ . Параметры скорости $u'_{x}$ и $u'$ равны $0$ . В системе $K$ , соответственно, скорость будет равна $u_{x} = \frac{d x}{d t}$ .

Применим к одной из формул преобразования Лоренца операцию дифференцирования и получим следующее:

$u_{x} = \frac{u'_{x} + υ}{1 + \frac{υ}{c^{2}} u'_{x}}, u_{y} = 0, u_{z} = 0$ .

Данные отношения являются выражением релятивистского закона сложения скоростей. Он применим в случае движения частицы параллельно относительной скорости $\vec{υ}$ в системах отсчета $K$ и $K'$ .

Если $υ ≪ c$ , то релятивистские отношения могут быть преобразованы в формулы классической механики:

$u_{x} = u'_{x} + υ, u_{y} = 0, u_{z} = 0$ .

Если мы имеем дело со световым импульсом, распространяющимся в системе $K'$ вдоль оси $x'$ со скоростью $u' x = c$ , то в этом случае применима следующая формула:

$u_{x} = \frac{c + υ}{1 + υ / c} = c, u_{y} = 0, u_{z} = 0$ .

Иначе говоря, скорость распространения светового импульса в системе $K$ вдоль оси $x$ также будет равна $c$ , что соответствует постулату об инвариантности скорости света.